Najmniejszą wartością, jaką funkcja kwadratowa f dana wzorem f(x)=ax²+bx+c przyjmuje w przedziale ⟨0,4⟩, jest f(2). Uzasadnij, że a > 0 i b < 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że a>0 i b<0
Analizuje się warunki zadania i wyciągam wnioski o znakach współczynników.
## Analiza warunku o minimum
Funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość w przedziale ⟨0,4⟩ w punkcie x = 2.
Ponieważ 2 znajduje się wewnątrz przedziału (0 < 2 < 4), a nie na jego krańcach, oznacza to, że w punkcie x = 2 funkcja ma lokalne minimum.
## Uzasadnienie, że a > 0
Funkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c ma ekstremum w wierzchołku o współrzędnej: x_w = -b/(2a)
Z warunku zadania wiemy, że minimum znajduje się w x = 2, więc: -b/(2a) = 2
Jeśli funkcja kwadratowa osiąga minimum (a nie maksimum) w swoim wierzchołku, to ramiona paraboli są skierowane do góry.
Wniosek: a > 0 ✓
(Gdyby a < 0, parabola miałaby ramiona skierowane w dół, a w wierzchołku byłoby maksimum, nie minimum)
## Uzasadnienie, że b < 0
Z równania wierzchołka: -b/(2a) = 2
Mnoży się obie strony przez 2a: -b = 4a b = -4a
Ponieważ udowodniliśmy, że a > 0, to: b = -4a < 0
(liczba ujemna razy liczba dodatnia daje liczbę ujemną)
Wniosek: b < 0 ✓
## Podsumowanie
- a > 0 - ponieważ funkcja ma minimum (a nie maksimum) w swoim wierzchołku - b < 0 - ponieważ wierzchołek znajduje się w x = 2, co daje b = -4a, a skoro a > 0, to b < 0
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.