Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale ⟨0,3⟩ największą wartość dla argumentów 0 i 3. Uzasadnij, że w przedziale ⟨-2,5⟩ funkcja f przyjmuje największą wartość dla argumentów -2 i 5.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że największa wartość jest dla argumentów -2 i 5
Analizuje się własności funkcji kwadratowej na podstawie danych informacji.
## Analiza warunku początkowego
Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale ⟨0,3⟩ największą wartość dla argumentów 0 i 3.
Ponieważ największa wartość jest osiągana w dwóch różnych punktach przedziału, to: - Wartość ta jest osiągana na brzegach przedziału: f(0) = f(3) - Maximum nie leży wewnątrz przedziału ⟨0,3⟩
## Wyznaczenie osi symetrii
Skoro f(0) = f(3) i f jest funkcją kwadratową, to punkty x = 0 i x = 3 są równoodległe od osi symetrii paraboli.
Oś symetrii: x_w = (0 + 3)/2 = 3/2
## Określenie kształtu paraboli
Ponieważ na brzegach przedziału ⟨0,3⟩ funkcja przyjmuje wartość największą (w tym przedziale), a oś symetrii x_w = 3/2 leży wewnątrz przedziału, to:
- Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie x_w = 3/2 - W tym punkcie funkcja przyjmuje wartość najmniejszą (w przedziale ⟨0,3⟩) - Ramiona paraboli są skierowane do góry (czyli a > 0)
## Analiza przedziału ⟨-2, 5⟩
Oś symetrii x_w = 3/2 dzieli przedział ⟨-2, 5⟩.
Sprawdza się odległości brzegów od osi symetrii: - Odległość x = -2 od osi: |-2 - 3/2| = |-7/2| = 7/2
- Odległość x = 5 od osi: |5 - 3/2| = 7/2
## Wniosek
Punkty x = -2 i x = 5 są równoodległe od osi symetrii paraboli, więc: f(-2) = f(5)
Ponieważ: - Parabola ma ramiona skierowane do góry - Wierzchołek (minimum) znajduje się w x_w = 3/2 ∈ ⟨-2, 5⟩ - Punkty -2 i 5 to brzegi przedziału, najdalej oddalone od wierzchołka
To właśnie w punktach x = -2 i x = 5 funkcja f przyjmuje największą wartość w przedziale ⟨-2, 5⟩.
Uzasadnienie jest kompletne.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.