Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), punkty A=(-1,-5), B=(2,-7), C=(6,9) i D=(-2,9) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta ABCD.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=(2/3,-5/3)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-60.png]
Wyznacza się punkt przecięcia przekątnych czworokąta ABCD.
## Krok 2: Identyfikacja przekątnych
Przekątne czworokąta ABCD to odcinki łączące przeciwległe wierzchołki: - Przekątna AC łączy punkty A=(-1,-5) i C=(6,9) - Przekątna BD łączy punkty B=(2,-7) i D=(-2,9)
## Krok 3: Równanie prostej AC
Wyznacza się równanie prostej przechodzącej przez A=(-1,-5) i C=(6,9).
Współczynnik kierunkowy: a_(AC) = (9-(-5))/(6-(-1)) = 14/7 = 2
Równanie prostej AC: y - (-5) = 2(x - (-1)) y + 5 = 2(x + 1) y = 2x + 2 - 5 y = 2x - 3
## Krok 4: Równanie prostej BD
Wyznacza się równanie prostej przechodzącej przez B=(2,-7) i D=(-2,9).
Współczynnik kierunkowy: a_(BD) = (9-(-7))/(-2-2) = 16/-4 = -4
Równanie prostej BD: y - (-7) = -4(x - 2) y + 7 = -4x + 8 y = -4x + 1
## Krok 5: Punkt przecięcia przekątnych
Rozwiązuje się układ równań: y = 2x - 3 y = -4x + 1 Przyrównuje prawe strony: 2x - 3 = -4x + 1 2x + 4x = 1 + 3 6x = 4 x = 4/6 = 2/3 Podstawia do pierwszego równania: y = 2 · 2/3 - 3 = 4/3 - 9/3 = -5/3 ## Odpowiedź Punkt przecięcia przekątnych czworokąta ABCD to: P = (2/3, -5/3)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.