Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r. Środek S tego okręgu leży na boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków AB i AC są równe odpowiednio |AB| = 3r oraz |AC| = √(3)r. Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |∢CAB| = 30°, |∢ABC| = 30°, |∢BCA| = 120°
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Analiza danych
- Wierzchołki A i C leżą na okręgu o środku S i promieniu r - Środek S leży na boku AB - |AB| = 3r - |AC| = √(3)r
## Krok 1: Wyznaczenie długości odcinków
Ponieważ A i C leżą na okręgu o środku S i promieniu r: |SA| = r oraz |SC| = r
Skoro S leży na boku AB i |AB| = 3r, to: |SB| = |AB| - |SA| = 3r - r = 2r
## Krok 2: Obliczenie kąta |∢CAB|
W trójkącie ASC znamy wszystkie boki: - |SA| = r - |SC| = r - |AC| = √(3)r
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC: |SC|² = |SA|² + |AC|² - 2|SA| · |AC| · cos(∢SAC)
r² = r² + (√(3)r)² - 2 · r · √(3)r · cos(∢SAC)
r² = r² + 3r² - 2√(3)r² · cos(∢SAC)
0 = 3r² - 2√(3)r² · cos(∢SAC)
2√(3)r² · cos(∢SAC) = 3r²
cos(∢SAC) = 3/(2√(3)) = 3√(3)/6 = √(3)/2
Zatem: |∢CAB| = |∢SAC| = 30°
## Krok 3: Obliczenie kąta |∢ABC|
W trójkącie SBC znamy wszystkie boki: - |SB| = 2r - |SC| = r - |BC| = ? (obliczymy za pomocą tw. cosinusów w trójkącie ABC)
Najpierw zauważmy, że trójkąt ASC jest równoramienny (|SA| = |SC| = r), więc: |∢SCA| = |∢SAC| = 30°
A zatem: |∢ASC| = 180° - 30° - 30° = 120°
Kąt |∢BSC| jest kątem przyległym do |∢ASC|: |∢BSC| = 180° - 120° = 60°
Teraz w trójkącie SBC stosujemy twierdzenie cosinusów: |BC|² = |SB|² + |SC|² - 2|SB| · |SC| · cos(∢BSC)
|BC|² = (2r)² + r² - 2 · 2r · r · cos(60°)
|BC|² = 4r² + r² - 4r² · 1/2 = 5r² - 2r² = 3r²
|BC| = √(3)r
Zauważamy, że |BC| = |AC| = √(3)r, więc trójkąt ABC jest równoramienny!
## Krok 4: Obliczenie pozostałych kątów
Ponieważ |AC| = |BC| = √(3)r: |∢CAB| = |∢ABC| = 30°
Suma kątów w trójkącie: |∢BCA| = 180° - 30° - 30° = 120°
## Odpowiedź
|∢CAB| = 30°, |∢ABC| = 30°, |∢BCA| = 120°
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.