Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem ogólnym: a_n = 4n - 9 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wykaż, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Aby wykazać, że ciąg jest arytmetyczny, trzeba udowodnić, że różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.
Krok 1: Przypomnijmy definicję ciągu arytmetycznego
Ciąg (a_n) jest arytmetyczny, gdy różnica a_(n+1) - a_n jest stała dla każdego n ∈ N_+.
Krok 2: Oblicza się wyraz a_(n+1)
Podstawia się n+1 do wzoru ogólnego: a_(n+1) = 4(n+1) - 9 = 4n + 4 - 9 = 4n - 5
Krok 3: Oblicza się różnicę a_(n+1) - a_n
a_(n+1) - a_n = (4n - 5) - (4n - 9)
a_(n+1) - a_n = 4n - 5 - 4n + 9
a_(n+1) - a_n = 4
Krok 4: Wniosek
Różnica a_(n+1) - a_n = 4 jest stała (nie zależy od n) i wynosi 4 dla każdego n ∈ N_+.
Zatem na podstawie definicji ciągu arytmetycznego, ciąg (a_n) o wzorze a_n = 4n - 9 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 4.
Co zostało wykazane: Udowodniliśmy, że a_(n+1) - a_n = 4 = const, co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby ciąg był arytmetyczny.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.