Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym prostokąty ABCD i EFGH są jego podstawami. Odcinek BH jest przekątną tego prostopadłościanu. W prostopadłościanie ABCDEFGH dane są: tg β=9/7 |BG|=2 · √(130) |BH|=2 · √(194) gdzie odcinek BH jest przekątną prostopadłościanu, odcinek BG jest przekątną ściany bocznej BCGF, β jest miarą kąta ∢GBC. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P_c=1528
Oznaczmy wymiary prostopadłościanu jako: - |AB| = a (długość) - |BC| = b (szerokość) - |BF| = h (wysokość)
## Krok 1: Analiza kąta β
W trójkącie prostokątnym GBC (w ścianie bocznej BCGF): - |BC| = b (przyprostokątna przy wierzchołku B) - |CG| = h (przyprostokątna przeciwprostokątna do kąta β) - |BG| = 2√(130) (przeciwprostokątna)
Z definicji tangensa: tg β= |CG|/|BC| = h/b = 9/7
Zatem: h = 9b/7
## Krok 2: Wykorzystanie przekątnej ściany BG
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie GBC: |BG|² = b² + h²
(2√(130))² = b² + h²
520 = b² + (9b/7)²
520 = b² + 81b²/49
520 = (49b² + 81b²)/49 = 130b²/49
b² = 520 · 49/130 = 25480/130 = 196
b = 14
Stąd: h = 9 · 14/7 = 18
## Krok 3: Wykorzystanie przekątnej prostopadłościanu BH
Przekątna prostopadłościanu BH łączy wierzchołki B i H, gdzie H jest naprzeciwległy do B.
|BH|² = a² + b² + h²
(2√(194))² = a² + 14² + 18²
776 = a² + 196 + 324
776 = a² + 520
a² = 256
a = 16
## Krok 4: Obliczenie pola powierzchni całkowitej
Prostopadłościan ma wymiary: a = 16, b = 14, h = 18
Pole powierzchni całkowitej: P_c = 2(ab + ah + bh)
P_c = 2(16 · 14 + 16 · 18 + 14 · 18)
P_c = 2(224 + 288 + 252)
P_c = 2 · 764
P_c = 1528
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi P_c = 1528
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.