Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3 : 4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=640√(3)/3
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić 3:4, to niech bok AB=3x oraz BC=4x. Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:
Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków AB oraz BC.
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe 192. Zatem:
3x · 4x=192 12x²=192 x²=16 x=4
Długości odcinków AB i BC wynoszą więc:
|AB|=3x=3 · 4=12 |BC|=4x=4 · 4=16
Krok 3. Obliczenie długości odcinka AE.
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka AE. Jest to dokładnie połowa przekątnej AC. Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka AC:
|AB|²+|BC|²=|AC|² 12²+16²=|AC|² 144+256=|AC|² |AC|²=400 |AC|=20
Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek AE jest równy połowie odcinka AC, zatem:
|AE|=1/2|AC| |AE|=1/2 · 20 |AE|=10
Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na kluczowy trójkąt AES. Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, to:
tg30°=|SE|/|AE| √(3)/3=|SE|/10 |SE|=10√(3)/3
Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa 10√(3)/3.
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
P_p=192 H=10√(3)/3 V=1/3 P_p · H V=1/3 · 192 · 10√(3)/3 V=64 · 10√(3)/3 V=640√(3)/3
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.