Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = ax² + bx + c. Zbiorem rozwiązań nierówności f(x) > 0 jest przedział (0,12). Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Musimy się zastanowić jak będzie wyglądać nasza parabola.

Wniosek I - Skoro funkcja przyjmuje wartości dodatnie (f(x) > 0) tylko w przedziale (0;12), to musi być to parabola z ramionami skierowanymi do dołu (patrz rysunek). Nie ma innej możliwości.

Wniosek II - Czym jest natomiast przedział (0;12)? Kiedy rozwiązujemy standardową nierówność i podajemy jej rozwiązania, to zawsze na krańcach przedziałów znajdują się tak naprawdę miejsca zerowe (które obliczamy np. z delty albo z postaci iloczynowej). Nie inaczej jest tutaj, zatem z tego przedziału możemy odczytać, że funkcja ta przecina oś Ox w punktach x₁=0 oraz x₂=12 (patrz rysunek).

Wniosek III - Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli? Skoro największa wartość funkcji jest równa 9, to jedną współrzędną (y=9) już znamy. Wiemy też, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie po środku, między miejscami zerowymi. Zatem współrzędne wierzchołka to W=(6;9).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji przy użyciu współrzędnych wierzchołka paraboli.

Dzięki trzeciemu wnioskowi z pierwszego kroku jesteśmy w stanie zapisać równanie tej paraboli w postaci kanonicznej. Funkcję o wierzchołku w punkcie W=(p;q) możemy opisać wzorem:

y=a(x-p)²+q y=a(x-6)²+9

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika a.

Wiemy, że parabola przechodzi między innymi przez punkt (0;0), zatem możemy podstawić współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru i tym samym obliczyć wartość współczynnika a:

0=a · (0-6)²+9 0=a · (-6)²+9 0=36a+9 36a=-9 a=-9/36=-1/4

Krok 4. Sprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.

Podstawiając wyznaczony współczynnik a=-1/4 do wzoru z kroku drugiego, będziemy tak naprawdę znać już pełny wzór naszej funkcji:

y=-1/4(x-6)²+9

To jednak nie koniec, bo zgodnie z treścią zadania musimy przedstawić wzór tej funkcji w postaci ogólnej typu f(x)=ax²+bx+c i wypisać poszczególne współczynniki. Zatem:

y=-1/4(x-6)²+9 y=-1/4(x²-12x+36)+9 y=-1/4 x²+3x-9+9 y=-1/4 x²+3x

Poszukiwanymi współczynnikami są więc: a=-1/4, b=3, c=0.