Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A = (−2, 2), B = (6, − 2), C = (10,6).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=-3x+16
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:
Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek B? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona AB oraz BC, a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek B. Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
|AB|=√((x_B-x_A)²+(y_B-x_A)²) |AB|=√((6-(-2))²+(-2-2)²)=√(64+16)=√(80) |BC|=√((10-6)²+(6-(-2))²)=√(16+64)=√(80) |AC|=√((10-(-2))²+(6-2)²)=√(144+16)=√(160)
Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt B.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu D.
Punkt D jest środkiem odcinka AC, bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu D skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
x_D=(x_A+x_C)/2=(-2+10)/2=8/2=4 y_D=(y_A+y_C)/2=(2+6)/2=8/2=4
W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są D=(4;4).
Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.
Znajomość współrzędnych punktu D znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty B=(6;-2) oraz D=(4;4) możemy opisać następującym równaniem:
(y-y_B)(x_D-x_B)-(y_D-y_B)(x-x_B)=0 (y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 (y+2)(-2)-6(x-6)=0 -2y-4-6x+36=0 -2y-6x+32=0 -2y=6x-32 /:(-2) y=-3x+16
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.