Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x³ + y³ ≥ x²y + xy².
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
x³+y³ ≥ x²y+xy² x³-x²y-xy²+y³ ≥ 0
Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio x² oraz y²:
x²(x-y)-y²(x-y) ≥ 0 (x²-y²)(x-y) ≥ 0
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że x²-y²=(x+y)(x-y), zatem:
(x+y)(x-y)(x-y) ≥ 0 (x+y)(x-y)² ≥ 0
Skoro x oraz y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia lub równa zero. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni lub równy zero. Mamy więc iloczyn dwóch liczb nieujemnych, a ten jest na pewno większy lub równy zero, co należało udowodnić.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.