W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, a punkt R jest środkiem boku CD. Wykaż, że pole trójkąta APR jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:
Krok 2. Obliczenie pól trójkątów ADR, PCR oraz ABP, a także prostokąta ABCD.
P_(ADR)=1/2 · 1/2 a · b=1/4 ab P_(PCR)=1/2 · 1/2 a · 1/2 b=1/8 ab P_(ABP)=1/2 · a · 1/2 b=1/4 ab P_(ABCD)=ab
Krok 3. Obliczenie pola trójkąta APR.
Pole trójkąta APR obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:
P_(APR)=P_(ABCD)-P_(ADR)-P_(PCR)-P_(ABP) P_(APR)=ab-1/4 ab-1/8 ab-1/4 ab P_(APR)=ab-2/8 ab-1/8 ab-2/8 ab P_(APR)=ab-5/8 ab P_(APR)=3/8 ab
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Suma pól trójkątów ADR oraz PCR jest równa:
P_(ADR)+P_(PCR)=1/4 ab+1/8 ab=3/8 ab
Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta APR w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.