Kąt dwuścienny w ostrosłupie - jak obliczyć, wzory i zadania maturalne

Kąt dwuścienny w ostrosłupie to jedno z zadań, które regularnie pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Zadania ze stereometrii są długie, ale jeśli zna się schemat, są powtarzalne. W tym poradniku krok po kroku pokazuję jak policzyć kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą, oraz rzadsze warianty: kąt między dwiema ścianami bocznymi.

Czym jest kąt dwuścienny

Kąt dwuścienny to kąt między dwiema półpłaszczyznami spotykającymi się wzdłuż wspólnej krawędzi. W ostrosłupie najczęściej pojawiają się dwa warianty:

1. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy - między jedną ze ścian bocznych (trójkątną) a podstawą. Krawędzią jest bok podstawy.
2. Kąt między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi - między dwoma trójkątami bocznymi. Krawędzią jest krawędź boczna.

Oba mierzy się prostopadle do krawędzi wspólnej. To jest najważniejsza zasada - wszystko sprowadza się do znalezienia prostych prostopadłych do wspólnej krawędzi i policzenia kąta między nimi.

Zasada jednego trójkąta prostokątnego

Sekret rozwiązywania tych zadań brzmi tak: zawsze kończysz w trójkącie prostokątnym. Dwa kąty to spraw 90°, jeden to szukany kąt, boki znasz lub liczysz z Pitagorasa i wartości trygonometrycznych.

Typ 1: kąt między ścianą boczną a podstawą w ostrosłupie prawidłowym

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym (podstawa kwadrat o boku $a$, spodek wysokości w środku kwadratu) szukamy kąta $\alpha$ między ścianą boczną a podstawą.

Krok po kroku

1. Niech $S$ to środek kwadratu podstawy, $W$ wierzchołek ostrosłupa, $M$ środek jednego z boków podstawy.
2. Odcinek $SM$ jest prostopadły do boku podstawy (bo leży w płaszczyźnie podstawy i łączy środek kwadratu ze środkiem boku).
3. Odcinek $WM$ jest prostopadły do tego samego boku (bo $W$ jest na prostej prostopadłej do podstawy przechodzącej przez $S$, a $SM \perp$ bok).
4. Kąt $\angle WMS = \alpha$ to kąt dwuścienny, który szukamy.

W trójkącie prostokątnym $WSM$ (kąt prosty w $S$) mamy:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{2H}{a}$$

gdzie $H$ to wysokość ostrosłupa.

Przykład 1. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $a = 6$ i wysokość $H = 4$. Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2 \cdot 4}{6} = \frac{4}{3}$$ $$\alpha = \operatorname{arctg}\frac{4}{3} \approx 53{,}13°$$

Typ 2: kąt między ścianą boczną a podstawą w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

Podstawa - trójkąt równoboczny o boku $a$. Spodek wysokości to środek ciężkości trójkąta równobocznego, który pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego.

Odcinek od środka do środka boku to promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Stąd:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r} = \frac{6H}{a\sqrt{3}} = \frac{2H\sqrt{3}}{a}$$

Przykład 2. Ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie $a = 6$ i wysokości $H = 3$. Kąt między ścianą boczną a podstawą:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha = 60°$$

Typ 3: kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

To łatwiejszy wariant, często na poziomie podstawowym. Tutaj używamy przekątnej podstawy (lub połowy przekątnej) zamiast odcinka $SM$.

Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o boku $a$ i wysokości $H$:

$$\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{H\sqrt{2}}{a}$$

Przykład 3. $a = 4$, $H = 2\sqrt{2}$:

$$\operatorname{tg}\beta = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \beta = 45°$$

Typ 4: kąt między dwiema ścianami bocznymi (rzadszy, rozszerzona)

Najczęściej szukamy kąta dwuściennego przy krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Metoda

1. Oznacz krawędź wspólną - krawędź boczna $WA$.
2. Wybierz punkt $P$ na krawędzi $WA$ (najlepiej tak, by konstrukcja była symetryczna).
3. Poprowadź z $P$ dwa odcinki prostopadłe do $WA$: jeden w jednej ścianie bocznej, drugi w sąsiedniej.
4. Kąt między tymi odcinkami = kąt dwuścienny.

W praktyce najszybciej używa się wzoru na cosinus kąta dwuściennego przez iloczyn skalarny wektorów normalnych do ścian, ale na maturze zwykle prowadzimy konstrukcję z prostopadłościami i Pitagorasem.

Przykład 4 (schematycznie). Ostrosłup prawidłowy czworokątny $a = 4$, krawędź boczna $b = 6$. Szukamy kąta dwuściennego przy krawędzi bocznej.

1. Wysokość ściany bocznej (odcinek od krawędzi $WA$ do środka przeciwległego boku ściany, czyli do podstawy ściany trójkątnej): liczymy z Pitagorasa w trójkącie równoramiennym ściany bocznej.

Wysokość $h_b$ ściany bocznej (z wierzchołka $W$ do środka boku podstawy): boki ściany $b, b, a$, więc

$$h_b = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

2. Odcinki prostopadłe do krawędzi bocznej, wychodzące z jej środka, mają długość:

$$d = \frac{h_b \cdot a/2}{b} \cdot 2 = ...$$

i dalej cosinus z Pitagorasa uogólnionego. Takie zadania są długie - najlepiej ćwiczyć je na konkretnych zadaniach CKE.

Schemat rozwiązania - 6 kroków

1. Narysuj ostrosłup. Na maturze obrazek jest podstawą. Oznacz wierzchołki literami.
2. Zidentyfikuj typ kąta. Ściana boczna do podstawy? Krawędź boczna do podstawy? Dwie ściany boczne?
3. Znajdź krawędź wspólną. Wspólny bok obu półpłaszczyzn.
4. Poprowadź z punktu na krawędzi dwa odcinki prostopadłe do niej. Jeden w każdej półpłaszczyźnie.
5. Utwórz trójkąt prostokątny z wysokością ostrosłupa i promieniem okręgu wpisanego lub wysokością ściany bocznej.
6. Policz tangens kąta i z tablic (lub arctg na kalkulatorze w maturze rozszerzonej) odczytaj miarę.

Typowe błędy

Błąd 1: mylenie kąta nachylenia ściany bocznej z kątem nachylenia krawędzi bocznej. To dwa różne kąty, różne trójkąty prostokątne. Kąt ściany używa odcinka $SM$ (środek do środka boku), kąt krawędzi używa odcinka $SA$ (środek do wierzchołka podstawy).

Błąd 2: branie wysokości ściany zamiast wysokości ostrosłupa. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych to wysokość ostrosłupa $H$, nie wysokość trójkąta ściany bocznej.

Błąd 3: pomylenie ostrosłupa prawidłowego z nieprawidłowym. W prawidłowym spodek wysokości jest w środku podstawy. W nieprawidłowym - gdziekolwiek. Jeśli zadanie nie mówi "prawidłowy", nie zakładaj tego.

Błąd 4: zaniedbanie konstrukcji prostopadłej. Kąt dwuścienny to kąt między odcinkami prostopadłymi do krawędzi wspólnej. Jeśli bierzesz dowolne dwa odcinki, dostaniesz inny kąt.

Powiązane zadania i poradniki

Zadania z kąta dwuściennego znajdziesz w kategorii Stereometria - ponad 200 zadań CKE z pełnymi rozwiązaniami.

Wzory - ściąga

Ostrosłup prawidłowy czworokątny, bok $a$, wysokość $H$, krawędź boczna $b$:

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, bok $a$, wysokość $H$:

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny, bok $a$, wysokość $H$:

Checklista - co musisz umieć

Jeśli te elementy masz opanowane, zadanie ze stereometrii na maturze rozszerzonej jest policzalne - a często warte 4-6 punktów. Ćwicz na zadaniach CKE ze stereometrii.