Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Stożek to jedna z brył, które pojawiają się na maturze regularnie. CKE pytała o objętość stożka, pole powierzchni bocznej, a nawet o stożek ścięty. To brzmi skomplikowanie, ale wzory są proste - wystarczy je zrozumieć i przećwiczyć na kilku zadaniach.

Podstawowe elementy stożka

Zanim przejdziemy do wzorów, ustalmy nazewnictwo:

Te trzy wielkości tworzą trójkąt prostokątny, więc łączy je twierdzenie Pitagorasa:

$$l^2 = r^2 + H^2$$

To jest kluczowa zależność. Na maturze często podają dwie z trzech wielkości i trzeba obliczyć trzecią.

Objętość stożka

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$

Zapamiętaj: objętość stożka to jedna trzecia objętości walca o tym samym promieniu i wysokości. Trzy stożki = jeden walec.

Przykład 1: Prosta objętość

Oblicz objętość stożka o promieniu podstawy 6 cm i wysokości 8 cm.

Rozwiązanie:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288\pi}{3} = 96\pi \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: $V = 96\pi \approx 301{,}6$ cm³.

Przykład 2: Objętość z tworzącej

Tworząca stożka ma długość 10 cm, a promień podstawy wynosi 6 cm. Oblicz objętość.

Rozwiązanie:

Najpierw obliczamy wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

$$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Teraz objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: $V = 96\pi$ cm³.

Pole powierzchni stożka

Pole powierzchni całkowitej składa się z dwóch części:

$$P_c = P_p + P_b$$

Pole podstawy (koło):

$$P_p = \pi r^2$$

Pole powierzchni bocznej (rozwinięcie w wycinek koła):

$$P_b = \pi r l$$

Pole całkowite:

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$$

Przykład 3: Pole powierzchni

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu 5 cm i tworzącej 13 cm.

Rozwiązanie:

$$P_c = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 13) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi \text{ cm}^2$$

Odpowiedź: $P_c = 90\pi \approx 282{,}7$ cm².

Przykład 4: Zadanie maturalne - stożek z przekrojem

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 12 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego stożka.

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny (dwie tworzące i średnica podstawy). Skoro jest równoboczny, to:

Wysokość (z trójkąta 30-60-90 lub Pitagorasa):

$$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\pi\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

Pole boczne:

$$P_b = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi \text{ cm}^2$$

Odpowiedź: $V = 72\pi\sqrt{3} \approx 391{,}8$ cm³, $P_b = 72\pi \approx 226{,}2$ cm².

Przykład 5: Stożek obrotowy - kąt przy wierzchołku

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm obraca się wokół krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość powstałego stożka.

Rozwiązanie:

Obrót wokół przyprostokątnej o długości 3 cm:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: $V = 16\pi \approx 50{,}3$ cm³.

Uwaga: gdyby obrót był wokół dłuższej przyprostokątnej (4 cm), dostalibyśmy inny stożek: $H = 4$, $r = 3$, $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$. To popularna pułapka na maturze - czytaj uważnie wokół której osi jest obrót.

Stożek ścięty - bonus

Na maturze rozszerzonej może pojawić się stożek ścięty. Jego objętość to:

$$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$$

gdzie $R$ i $r$ to promienie większej i mniejszej podstawy, a $H$ to wysokość.

Pole boczne stożka ściętego:

$$P_b = \pi(R + r) \cdot l$$

gdzie $l$ to tworząca, $l = \sqrt{H^2 + (R - r)^2}$.

Powiązania z innymi bryłami

Na maturze stożek często pojawia się w zestawieniu z innymi bryłami:

Więcej o bryłach znajdziesz w naszym przewodniku po stereometrii i zestawieniu wzorów na objętość i pole brył.

Typowe błędy

Błąd 1: Zapominanie o 1/3. Objętość stożka to $\frac{1}{3}\pi r^2 H$, nie $\pi r^2 H$ (to walec!). Najczęstszy błąd na maturze.

Błąd 2: Mylenie H z l. Wysokość $H$ to odcinek prostopadły do podstawy. Tworząca $l$ to odcinek od wierzchołka do brzegu. W objętości wstawiamy $H$, w polu bocznym - $l$.

Błąd 3: Średnica zamiast promienia. Jeśli w zadaniu podano średnicę $d = 10$, to $r = 5$. Nie podstawiaj 10 do wzoru!

Błąd 4: Obrót wokół złej osi. W zadaniach o bryłach obrotowych uważnie sprawdź, wokół której prostej odbywa się obrót. To determinuje, co jest promieniem, a co wysokością.

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz na zadaniach ze stereometrii w naszej bazie. Sprawdź też wzory na maturę, gdzie znajdziesz wszystkie wzory na bryły w jednym miejscu.