Wzory na maturę z matematyki 2026 - kompletna lista wszystkich wzorów z przykładami

Wszystkie wzory na maturę z matematyki 2026 - kompletna lista

To jest jedyna lista wzorów, jakiej potrzebujesz do matury z matematyki. Zebrałem tutaj absolutnie każdy wzór, który może Ci się przydać na egzaminie - od podstawowej algebry po kombinatorykę. Przy każdym wzorze znajdziesz oznaczenie:

Jeśli szukasz wzorów, których nie ma na karcie CKE, przeczytaj też wzory spoza tablic, które musisz znać. A jeśli chcesz zobaczyć, co dokładnie jest na karcie - zajrzyj do przewodnika po karcie wzorów CKE 2026.

---

Algebra - potęgi, pierwiastki, logarytmy

Potęgi $$P$$

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$ $$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Potęga o wykładniku wymiernym:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)$$

Więcej o potęgach znajdziesz w przewodniku po potęgach i pierwiastkach.

Pierwiastki $$P$$

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \geq 0)$$ $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0, \ b > 0)$$ $$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$ $$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$$

Usuwanie niewymierności z mianownika:

$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$$ $$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$

Logarytmy $$P$$

Definicja: $\log_a b = c \iff a^c = b$ dla $a > 0, a \neq 1, b > 0$.

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$ $$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$ $$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$ $$\log_a a = 1$$ $$\log_a 1 = 0$$

Zmiana podstawy logarytmu:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Szczególny przypadek:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Pełny przewodnik po logarytmach znajdziesz tutaj.

Wzory skróconego mnożenia $$P$$

$$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Więcej zastosowań w przewodniku po wzorach skróconego mnożenia.

---

Funkcja liniowa $$P$$

Postać kierunkowa:

$$y = ax + b$$

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią OY).

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów $A(x_1, y_1)$ i $B(x_2, y_2)$:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Miejsce zerowe:

$$x_0 = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$

Warunki równoległości i prostopadłości prostych:

$$\text{równoległe: } a_1 = a_2$$ $$\text{prostopadłe: } a_1 \cdot a_2 = -1$$

Cały przewodnik po funkcji liniowej na maturze.

---

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Wyróżnik (delta) $$K$$

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Miejsca zerowe $$K$$

Gdy $\Delta > 0$ - dwa pierwiastki:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Gdy $\Delta = 0$ - jeden pierwiastek podwójny:

$$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

Gdy $\Delta < 0$ - brak pierwiastków rzeczywistych.

Wierzchołek paraboli $$P$$

$$p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}$$

Wierzchołek: $W = (p, q)$.

Postać kanoniczna $$P$$

$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

Postać iloczynowa $$P$$

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \quad \text{(gdy } \Delta \geq 0\text{)}$$

Wzory Viete'a $$P$$

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Kompletny przewodnik po funkcji kwadratowej na maturze.

---

Wielomiany

Twierdzenie Bezout $$P$$

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x - a)$ jest równa $W(a)$.

$$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)$$

Stąd: jeśli $W(a) = 0$, to $(x - a)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)$.

Wzory Viete'a dla wielomianów $$R$$

Dla wielomianu $W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0$ o pierwiastkach $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

$$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$ $$x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}$$

Więcej w przewodniku po wielomianach.

---

Ciągi liczbowe

Ciąg arytmetyczny $$K$$

Wzór na n-ty wyraz:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

gdzie $r$ to różnica ciągu.

Suma n pierwszych wyrazów:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$ Własność środków arytmetycznych $$P$$: $$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$

Ciąg geometryczny $$K$$

Wzór na n-ty wyraz:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

gdzie $q$ to iloraz ciągu.

Suma n pierwszych wyrazów (dla $q \neq 1$):

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$ Własność środków geometrycznych $$P$$: $$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$$ Suma nieskończonego ciągu geometrycznego ($|q| < 1$) $$R$$: $$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

Kompletny przewodnik po ciągach na maturze.

---

Trygonometria

Definicje w trójkącie prostokątnym $$P$$

$$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}$$ $$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\text{przyprostokątna przy kącie}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Jedynka trygonometryczna $$P$$

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Wartości funkcji trygonometrycznych $$P$$

Wzory redukcyjne $$P$$

$$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$$ $$\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha$$ $$\sin(360° - \alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(360° - \alpha) = \cos \alpha$$ $$\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(90° - \alpha) = \sin \alpha$$

Twierdzenie sinusów $$K$$

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie cosinusów $$K$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

Pole trójkąta z sinusa kąta $$K$$

$$P = \frac{1}{2} ab \sin C$$

Wszystko o trygonometrii w kompletnym przewodniku.

Zależności w trójkątach szczególnych $$P$$

Trójkąt 30-60-90 - proporcje boków $1 : \sqrt{3} : 2$.

Trójkąt 45-45-90 - proporcje boków $1 : 1 : \sqrt{2}$.

Szczegóły w przewodniku po trójkątach szczególnych.

---

Planimetria - pola i obwody figur

Trójkąt $$K$$

$$P = \frac{1}{2} a \cdot h_a$$ $$P = \frac{1}{2} a b \sin C$$

Wzór Herona ($s = \frac{a+b+c}{2}$):

$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Więcej wzorów na pole trójkąta w osobnym przewodniku - 8 wzorów.

Prostokąt $$P$$

$$P = a \cdot b, \quad \text{obwód} = 2(a + b)$$

Przekątna: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Kwadrat $$P$$

$$P = a^2 = \frac{d^2}{2}, \quad \text{obwód} = 4a$$

Przekątna: $d = a\sqrt{2}$

Równoległobok $$P$$

$$P = a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

Romb $$P$$

$$P = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

gdzie $d_1, d_2$ to przekątne.

Trapez $$P$$

$$P = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

gdzie $a, b$ to podstawy, $h$ to wysokość.

Koło $$P$$

$$P = \pi r^2, \quad \text{obwód} = 2\pi r$$

Wycinek koła $$K$$

Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$ (w stopniach):

$$P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$

Długość łuku:

$$l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$

Twierdzenie Pitagorasa $$P$$

$$a^2 + b^2 = c^2$$

gdzie $c$ to przeciwprostokątna.

Twierdzenie Talesa $$P$$

Jeśli ramiona kąta przecinają dwie proste równoległe, to stosunek odcinków na jednym ramieniu jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu:

$$\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|}$$

Więcej w przewodniku po twierdzeniu Talesa.

Okrąg wpisany i opisany $$P$$

Promień okręgu wpisanego w trójkąt:

$$r = \frac{P}{s}$$

gdzie $P$ to pole trójkąta, $s$ to połowa obwodu.

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

$$R = \frac{abc}{4P}$$

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Więcej w przewodniku po kątach w figurach.

Kompletny przewodnik po planimetrii na maturze.

---

Stereometria - objętości i pola powierzchni

Graniastosłup $$K$$

$$V = P_p \cdot H$$ $$P_c = 2P_p + P_{\text{boczna}}$$

Ostrosłup $$K$$

$$V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$$

Walec $$K$$

$$V = \pi r^2 H$$ $$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$$

Stożek $$K$$

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$ $$P_c = \pi r^2 + \pi r l$$

gdzie $l$ to tworząca stożka, $l = \sqrt{r^2 + H^2}$.

Kula $$K$$

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ $$P = 4\pi r^2$$

Kompletny przewodnik po stereometrii na maturze i objętościach brył.

---

Geometria analityczna

Odległość między punktami $$K$$

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Środek odcinka $$P$$

$$S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Równanie kierunkowe prostej $$P$$

$$y = ax + b$$

Równanie ogólne prostej $$P$$

$$Ax + By + C = 0$$

Przejście: $a = -\frac{A}{B}$, $b = -\frac{C}{B}$.

Równanie prostej przez dwa punkty $$P$$

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Odległość punktu od prostej $$K$$

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Równanie okręgu $$P$$

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Środek: $S = (a, b)$, promień: $r$.

Wektor $$P$$

$$\vec{AB} = [x_2 - x_1, \ y_2 - y_1]$$

Długość wektora:

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$$

Wektory prostopadłe: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$

Wektory równoległe: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2}$

Kompletny przewodnik po geometrii analitycznej i równaniach prostej.

---

Statystyka

Średnia arytmetyczna $$P$$

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Średnia ważona:

$$\bar{x}_w = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \ldots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$$

Mediana $$P$$

Wartość środkowa po uporządkowaniu danych. Dla $n$ parzystego - średnia dwóch środkowych wartości.

Dominanta (moda) $$P$$

Wartość występująca najczęściej w zbiorze danych.

Odchylenie standardowe $$K$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}$$

Wariancja $$P$$

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$$

Więcej w przewodniku po statystyce na maturze i artykule o średniej, medianie i dominancie.

---

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Silnia $$P$$

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$ $$0! = 1$$

Symbol Newtona $$K$$

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Dwumian Newtona $$R$$

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Reguła mnożenia $$P$$

Jeśli pierwsze zdarzenie może zajść na $m$ sposobów, a drugie na $n$ sposobów, to oba zdarzenia mogą zajść na $m \cdot n$ sposobów.

Reguła dodawania $$P$$

Jeśli zdarzenia się wykluczają, to łączna liczba sposobów to $m + n$.

Permutacja $$P$$

$$P_n = n!$$

Wariacja bez powtórzeń $$P$$

$$V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Wariacja z powtórzeniami $$P$$

$$\overline{V}^k_n = n^k$$

Kombinacja $$P$$

$$C^k_n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Prawdopodobieństwo klasyczne $$P$$

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego $$P$$

$$P(A') = 1 - P(A)$$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń $$P$$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Dla zdarzeń wykluczających się:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Więcej w przewodniku po kombinatoryce, prawdopodobieństwie i symbolu Newtona.

---

Procenty i matematyka finansowa

Procent z liczby $$P$$

$$p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a$$

Obliczanie ile procent $$P$$

$$\frac{a}{b} \cdot 100\%$$

Podwyżka i obniżka $$P$$

Podwyżka o $p\%$:

$$a_{\text{po}} = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$$

Obniżka o $p\%$:

$$a_{\text{po}} = a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$

Procent składany $$P$$

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

gdzie $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ to oprocentowanie, $n$ to liczba okresów.

Więcej w przewodniku po procentach i artykule o procencie składanym.

---

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcja wykładnicza $$P$$

$$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$$

Dziedzina: $\mathbb{R}$, zbiór wartości: $(0, +\infty)$.

Dla $a > 1$ - rosnąca. Dla $0 < a < 1$ - malejąca.

Funkcja logarytmiczna $$P$$

$$f(x) = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$$

Dziedzina: $(0, +\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna o tej samej podstawie są funkcjami odwrotnymi - ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$.

Więcej w przewodniku po funkcji wykładniczej i logarytmach.

---

Przekształcenia wykresów funkcji $$P$$

Mając wykres $y = f(x)$:

Więcej w przewodniku po przekształceniach wykresów.

---

Jak korzystać z tej listy wzorów

1. Wydrukuj tę stronę - miej ją pod ręką podczas nauki
2. Skup się na wzorach z oznaczeniem $$P$$ - to te, których nie ma na karcie CKE i musisz je znać na pamięć
3. Wzory $$K$$ powtórz pod kątem zastosowań - na egzaminie masz kartę, ale musisz wiedzieć, kiedy i jak użyć danego wzoru
4. Przećwicz każdą kategorię - kliknij linki do przewodników tematycznych, żeby zobaczyć zadania z rozwiązaniami

Jeśli szukasz strategii na sam egzamin, przeczytaj jak zdać maturę z matematyki w 2026 i pewniaki maturalne 2026.

Powodzenia na maturze!