Matura matematyka - wzory spoza tablic, które musisz znać na pamięć

Większość wzorów maturalnych jest w karcie CKE „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”, z której korzystasz na egzaminie: własności potęg i logarytmów, wzory skróconego mnożenia, delta, wzory Viète'a, procent składany, środek i długość odcinka, równanie okręgu, średnia, mediana i odchylenie standardowe. Karta nie podaje za to wzorów na podwyżkę i obniżkę o $p\%$, monotoniczności i miejsca zerowego funkcji liniowej, związku $a_n = S_n - S_{n-1}$ ani dominanty. Te rzeczy musisz mieć w głowie, a resztę i tak warto znać na pamięć, bo każde szukanie w karcie zabiera czas.

W skrócie

• Delta, pierwiastki równania kwadratowego, wierzchołek paraboli i wzory Viète'a są w dziale „Funkcja kwadratowa” karty CKE.
• Procenty nie mają w karcie wzoru poza procentem składanym: podwyżkę o $p\%$ liczysz jako $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.
• Funkcja liniowa $y = ax + b$ rośnie dla $a > 0$, maleje dla $a < 0$, a jej miejsce zerowe to $x_0 = -\frac{b}{a}$: tego karta nie wypisuje.
• Wyraz ciągu z sumy, $a_n = S_n - S_{n-1}$, i dominantę w statystyce też musisz pamiętać sam.
• Potęgi, logarytmy i wzory skróconego mnożenia są w karcie, ale używasz ich tak często, że szukanie ich kosztuje więcej czasu niż nauka.

Czego NIE znajdziesz w karcie wzorów CKE?

Karta „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki” jest jednym z materiałów dozwolonych na egzaminie, obok linijki, cyrkla i kalkulatora prostego. Ma działy od wartości bezwzględnej do pochodnej i pokrywa prawie wszystkie wzory, których potrzebujesz w działach matury z matematyki. Całą kartę przejrzysz w karcie wzorów maturalnych, więc poniżej skupiam się na tym, czego w niej brakuje.

Tego w karcie nie ma, a pojawia się w zadaniach:

• •wzory procentowe: podwyżka, obniżka, „o ile procent”, punkty procentowe (w karcie jest tylko procent składany, w dziale „Ciągi”);
• •własności funkcji liniowej: monotoniczność zależna od znaku $a$ i miejsce zerowe $x_0 = -\frac{b}{a}$ (karta ma prostą $y = ax + b$ tylko w dziale o geometrii analitycznej);
• •związek wyrazu ciągu z sumą: $a_n = S_n - S_{n-1}$ dla $n \geq 2$;
• •wartości $\log_a 1 = 0$ i $\log_a a = 1$: wynikają z definicji logarytmu, ale nie są wypisane;
• •dominanta, czyli wartość występująca najczęściej: karta podaje średnie, medianę, wariancję i odchylenie, dominanty nie;
• •odczytywanie zbioru wartości i przedziałów monotoniczności funkcji kwadratowej: karta daje wierzchołek i kierunek ramion, wniosek wyciągasz sam.

Niżej przechodzę dział po dziale: co jest w karcie, czego brakuje i jeden przeliczony przykład.

1. Potęgi i pierwiastki

W karcie: tak, dział „Potęgi i pierwiastki”. Masz tam definicję potęgi i pierwiastka, potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym oraz prawa działań:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{mn}$ $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Przykład: $\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^4} = 2^{5 + (-3) - 4} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Wykładniki dodajesz przy mnożeniu i odejmujesz przy dzieleniu, więc całe zadanie to jedna linijka rachunku.

2. Wzory skróconego mnożenia

W karcie: tak, dział „Wzory skróconego mnożenia”, razem z sześcianami i ogólnym rozkładem $a^n - b^n$.

$({a+b})^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Przykład: $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$. Kto zna wzór na pamięć, liczy to w głowie szybciej niż na kalkulatorze.

Sześciany

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Wzory skróconego mnożenia najłatwiej utrwalić na własnych liczbach. Kalkulator wzorów skróconego mnożenia rozwija kwadrat i sześcian dwumianu oraz różnicę kwadratów, a w drugą stronę zwija trójmian, o ile ten w ogóle jest kwadratem dwumianu albo różnicą kwadratów. Sumy i różnicy sześcianów nie rozkłada, ale te dwa wzory masz w karcie.

3. Logarytmy

W karcie: tak, dział „Logarytmy”. Jest definicja, równość $a^{\log_a b} = b$, logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzór na zamianę podstawy:

$\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$ $\log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$ $\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$ $a^{\log_a b} = b$

Wypisanych nie ma tylko dwóch wartości, które wynikają z definicji: $\log_a 1 = 0$, bo $a^0 = 1$, oraz $\log_a a = 1$, bo $a^1 = a$.

$\log_a a = 1$ $\log_a 1 = 0$

Przykład: $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$. Bez wzoru na logarytm ilorazu nie ruszysz takiego zadania, więc ten wzór musisz rozpoznawać od razu.

4. Funkcja liniowa

Tu karta pomaga najmniej. Prostą $y = ax + b$, współczynnik kierunkowy z dwóch punktów oraz warunki równoległości i prostopadłości znajdziesz w dziale o geometrii analitycznej. Własności funkcji liniowej już nie.

$y = ax + b$

• •$a$ - współczynnik kierunkowy (nachylenie)
• •$b$ - wyraz wolny (przecięcie z osią $Oy$)

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Proste równoległe: $a_1 = a_2$

Proste prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$

Czego nie ma w karcie: funkcja jest rosnąca dla $a > 0$, malejąca dla $a < 0$ i stała dla $a = 0$, a jej miejsce zerowe (gdy $a \neq 0$) to $x_0 = -\frac{b}{a}$.

Przykład: $f(x) = -2x + 6$. Współczynnik $a = -2 < 0$, więc funkcja maleje. Miejsce zerowe: $-2x + 6 = 0$, czyli $x_0 = 3$. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 6)$. Więcej przykładów masz w omówieniu funkcji liniowej na maturze.

5. Funkcja kwadratowa

W karcie: tak, cały zestaw, dział „Funkcja kwadratowa”. Jest delta, wzory na pierwiastki, wierzchołek paraboli, postać kanoniczna, postać iloczynowa i wzory Viète'a.

$f(x) = ax^2 + bx + c$ Wyróżnik:
$\Delta = b^2 - 4ac$ Miejsca zerowe (gdy $\Delta \geq 0$):
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ Wierzchołek paraboli:
$W = \left(\frac{-b}{2a},\; \frac{-\Delta}{4a}\right)$ Postać kanoniczna:
$f(x) = a(x-p)^2 + q$ Postać iloczynowa (gdy $\Delta \geq 0$):
$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ Wzory Viète'a:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Czego nie ma w karcie: zbioru wartości i przedziałów monotoniczności. Odczytujesz je z wierzchołka i kierunku ramion.

Przykład: $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Liczysz $\Delta = 36 - 20 = 16$, więc $\sqrt{\Delta} = 4$, $x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1$ i $x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$. Wierzchołek: $p = \frac{6}{2} = 3$, $q = -\frac{16}{4} = -4$. Ramiona idą w górę, bo $a = 1 > 0$, więc zbiór wartości to $\langle -4, +\infty)$, a funkcja maleje w $(-\infty, 3\rangle$ i rośnie w $\langle 3, +\infty)$. Wzory Viète'a się zgadzają: $1 + 5 = 6 = -\frac{-6}{1}$ oraz $1 \cdot 5 = 5 = \frac{5}{1}$. Typowe zadania na te wzory zebrałem we wpisie o tym, jak stosować wzory Viète'a.

6. Procenty

W karcie jest tylko procent składany, w dziale „Ciągi”. Reszta to wzory do zapamiętania.

Procent z liczby:
$p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a$

Zmiana procentowa:

• •Wzrost o $p\%$: $a \cdot (1 + \frac{p}{100})$
• •Spadek o $p\%$: $a \cdot (1 - \frac{p}{100})$

Procent składany (jest w karcie):
$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Druga rzecz spoza karty to punkty procentowe. Gdy oprocentowanie rośnie z 20% do 25%, to wzrost o 5 punktów procentowych, ale o 25% w stosunku do wartości początkowej, bo $\frac{5}{20} = 0{,}25$. Więcej takich rozróżnień znajdziesz w omówieniu zadań z procentami na maturze.

7. Geometria analityczna i planimetria w karcie

W geometrii karta jest bardzo szczegółowa. Dział o geometrii analitycznej podaje długość i środek odcinka, równania prostej, warunki równoległości i prostopadłości, odległość punktu od prostej, równanie okręgu w postaci kanonicznej i ogólnej, działania na wektorach, symetrie i pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków. Dział „Planimetria” ma twierdzenie Pitagorasa z twierdzeniem odwrotnym, twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzory na pole trójkąta, w tym wzór Herona.

Środek odcinka:
$S = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ Długość odcinka:
$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ Równanie okręgu:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

środek $(a,b)$, promień $r$

Odległość punktu od prostej:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Przykład: dla $A = (-2, 4)$ i $B = (6, 0)$ środek odcinka to $S = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (2, 2)$, a długość $|AB| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$. Wzory masz w karcie, więc w geometrii liczy się to, czy od razu wiesz, którego użyć.

8. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

W karcie: tak. Dział „Kombinatoryka” opisuje permutacje, kombinacje i wariacje z powtórzeniami oraz bez powtórzeń. Dział „Rachunek prawdopodobieństwa” podaje klasyczną definicję prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, sumy zdarzeń i schemat Bernoullego.

Silnia: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Prawdopodobieństwo klasyczne:
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ Symbol Newtona:
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Przykład: rzucasz dwiema kostkami i chcesz sumy oczek 7. Wszystkich wyników jest $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$, sprzyjających 6: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Stąd $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

9. Statystyka

W karcie: tak, dział „Parametry danych statystycznych”. Jest średnia arytmetyczna, ważona, geometryczna i kwadratowa, mediana, wariancja i odchylenie standardowe. Nie ma dominanty.

Średnia arytmetyczna:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Mediana: wartość środkowa po uporządkowaniu danych, a przy parzystej liczbie danych średnia dwóch środkowych.

Odchylenie standardowe:
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

Przykład: dla danych 2, 3, 3, 5, 7 średnia to $\frac{20}{5} = 4$, mediana to 3 (środkowa z pięciu wartości), a dominanta też 3, bo ta wartość występuje najczęściej. Wariancja: $\frac{4 + 1 + 1 + 1 + 9}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2$, więc $\sigma = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}79$. Rozróżnienie średniej, mediany i dominanty ćwiczysz we wpisie o tym, jak obliczyć medianę i dominantę.

Jak się tego nauczyć?

Metoda 1: Fiszki

Na fiszki trafia tylko to, czego w karcie nie ma: wzory procentowe, własności funkcji liniowej, $a_n = S_n - S_{n-1}$, $\log_a 1 = 0$ i dominanta. Codziennie przegląd 10 minut.

Metoda 2: Ćwiczenie przez rozwiązywanie

Najlepsza metoda: zamiast wkuwać wzory, rozwiązuj zadania z kartą obok. Po kilku arkuszach najczęstszych wzorów już nie szukasz, a wiesz, gdzie stoją rzadsze.

Na Sprawnej Maturze masz losowe zadania maturalne z rozwiązaniami, a każde wymaga któregoś z tych wzorów.

Metoda 3: Kartka A4

Spisz na jednej kartce wszystko z listy „czego nie ma w karcie” i powieś ją nad biurkiem. Przegląd co rano.

Które wzory są w tablicach?

Dla jasności, to wszystko jest w karcie wzorów CKE:

• •Wartość bezwzględna: definicja i własności, w tym rozwiązywanie $|x - a| \leq r$.
• •Potęgi i pierwiastki: prawa działań i $\sqrt{a^2} = |a|$.
• •Logarytmy: definicja, logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, zamiana podstawy.
• •Silnia, symbol Newtona i wzór dwumianowy Newtona.
• •Wzory skróconego mnożenia, razem z sześcianami.
• •Funkcja kwadratowa: delta, pierwiastki, wierzchołek, postać kanoniczna i iloczynowa, wzory Viète'a.
• •Ciągi: wyraz ogólny i suma ciągu arytmetycznego i geometrycznego, suma nieskończonego ciągu geometrycznego, procent składany.
• •Trygonometria: definicje, jedynka trygonometryczna, wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, wzory na sumę, różnicę i podwojony kąt oraz tablica wartości funkcji trygonometrycznych.
• •Planimetria: twierdzenie Pitagorasa, twierdzenia sinusów i cosinusów, wzory na pole trójkąta.
• •Geometria analityczna: odcinek, prosta, równoległość i prostopadłość, odległość punktu od prostej, okrąg, wektory.
• •Stereometria, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa, parametry danych statystycznych i pochodna funkcji.

Wszystko spoza tej listy musisz znać na pamięć.

Sprawdź się

Rozwiąż kilka zadań i sprawdź, czy pamiętasz to, czego karta nie podaje:

• •Zadania z potęg i pierwiastków
• •Zadania z logarytmów
• •Zadania z funkcji kwadratowej
• •Zadania z geometrii analitycznej

Następny krok Losuj zadanie maturalne

Najczęstsze pytania