Czego NIE znajdziesz w karcie wzorów CKE?
Na maturze z matematyki dostajesz kartę wzorów - oficjalny zestaw wzorów od CKE. Znajdziesz tam wzory na ciągi, geometrię, trygonometrię i prawdopodobieństwo. Ale wiele kluczowych wzorów nie jest w karcie . Musisz je znać na pamięć.
Poniżej znajdziesz kompletną listę wzorów spoza tablic, pogrupowaną tematycznie. Każdy z nich przydaje się na maturze.
1. Potęgi i pierwiastki
Te wzory to absolutna podstawa - używasz ich w połowie zadań na arkuszu:
a m ⋅ a n = a m + n a^m \cdot a^n = a^{m+n} a m ⋅ a n = a m + n a m a n = a m − n \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n ( a m ) n = a m n (a^m)^n = a^{mn} ( a m ) n = a mn ( a b ) n = a n ⋅ b n (ab)^n = a^n \cdot b^n ( ab ) n = a n ⋅ b n ( a b ) n = a n b n \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} ( b a ) n = b n a n a 0 = 1 ( a ≠ 0 ) a^0 = 1 \quad (a \neq 0) a 0 = 1 ( a = 0 ) a − n = 1 a n a^{-n} = \frac{1}{a^n} a − n = a n 1 a n = a 1 n \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} n a = a n 1 a m n = a m n \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} n a m = a n m Uwaga: Te wzory NIE są w tablicach, a są potrzebne w praktycznie każdym arkuszu. Musisz je znać automatycznie.
2. Wzory skróconego mnożenia
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ({a+b})^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 Te trzy wzory pojawiają się na maturze non-stop. Jeśli nie znasz ich na pamięć, tracisz czas na rozpisywanie mnożenia.
Rozszerzenie (dla zaawansowanych):
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 3. Logarytmy
log a ( b ⋅ c ) = log a b + log a c \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c log a ( b ⋅ c ) = log a b + log a c log a b c = log a b − log a c \log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c log a c b = log a b − log a c log a b n = n ⋅ log a b \log_a b^n = n \cdot \log_a b log a b n = n ⋅ log a b log a a = 1 \log_a a = 1 log a a = 1 log a 1 = 0 \log_a 1 = 0 log a 1 = 0 a log a b = b a^{\log_a b} = b a l o g a b = b Te właściwości są potrzebne w każdym zadaniu z logarytmami na maturze. Bez nich nie rozwiążesz nawet najprostszego.
4. Funkcja liniowa
y = a x + b y = ax + b y = a x + b • a a a • b b b O y Oy O y Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:
a = y 2 − y 1 x 2 − x 1 a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} a = x 2 − x 1 y 2 − y 1 Proste równoległe: a 1 = a 2 a_1 = a_2 a 1 = a 2
Proste prostopadłe: a 1 ⋅ a 2 = − 1 a_1 \cdot a_2 = -1 a 1 ⋅ a 2 = − 1
5. Funkcja kwadratowa
f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x) = ax^2 + bx + c f ( x ) = a x 2 + b x + c Wyróżnik: Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ = b 2 − 4 a c Miejsca zerowe (gdy Δ ≥ 0 \Delta \geq 0 Δ ≥ 0 x 1 , 2 = − b ± Δ 2 a x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} x 1 , 2 = 2 a − b ± Δ Wierzchołek paraboli: W = ( − b 2 a , − Δ 4 a ) W = \left(\frac{-b}{2a},\; \frac{-\Delta}{4a}\right) W = ( 2 a − b , 4 a − Δ ) Postać kanoniczna: f ( x ) = a ( x − p ) 2 + q f(x) = a(x-p)^2 + q f ( x ) = a ( x − p ) 2 + q Postać iloczynowa (gdy Δ ≥ 0 \Delta \geq 0 Δ ≥ 0 f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) Wzory Viète'a: x 1 + x 2 = − b a , x 1 ⋅ x 2 = c a x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} x 1 + x 2 = a − b , x 1 ⋅ x 2 = a c 6. Procenty
Procent z liczby: p % ⋅ a = p 100 ⋅ a p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a p % ⋅ a = 100 p ⋅ a Zmiana procentowa:
• Wzrost o p % p\% p % a ⋅ ( 1 + p 100 ) a \cdot (1 + \frac{p}{100}) a ⋅ ( 1 + 100 p ) • Spadek o p % p\% p % a ⋅ ( 1 − p 100 ) a \cdot (1 - \frac{p}{100}) a ⋅ ( 1 − 100 p )
Procent składany: K n = K 0 ⋅ ( 1 + p 100 ) n K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n K n = K 0 ⋅ ( 1 + 100 p ) n Uwaga na pułapkę CKE: Wzrost o 50% a następnie spadek o 50% NIE daje wartości początkowej!
100 ⋅ 1,5 ⋅ 0,5 = 75 ≠ 100 100 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 = 75 \neq 100 100 ⋅ 1 , 5 ⋅ 0 , 5 = 75 = 100 7. Geometria - wzory, których nie ma w tablicach
Środek odcinka: S = ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) S = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\right) S = ( 2 x 1 + x 2 , 2 y 1 + y 2 ) Długość odcinka: ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 Równanie okręgu: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 środek ( a , b ) (a,b) ( a , b ) r r r
Odległość punktu od prostej (ten JUŻ jest w tablicach):
d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} d = A 2 + B 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ 8. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo
Silnia: n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n
Prawdopodobieństwo klasyczne: P ( A ) = ∣ A ∣ ∣ Ω ∣ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} P ( A ) = ∣Ω∣ ∣ A ∣ Symbol Newtona (jest w tablicach, ale warto znać):
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ( k n ) = k ! ( n − k )! n ! 9. Statystyka
Średnia arytmetyczna: x ˉ = x 1 + x 2 + … + x n n \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} x ˉ = n x 1 + x 2 + … + x n Mediana: Wartość środkowa po uporządkowaniu danych.
Odchylenie standardowe (wzór jest w tablicach, ale warto rozumieć):
σ = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 \sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} σ = n 1 i = 1 ∑ n ( x i − x ˉ ) 2 Jak się tego nauczyć?
Metoda 1: Fiszki Wydrukuj każdy wzór na osobnej fiszce. Codziennie przegląd 10 minut.
Metoda 2: Ćwiczenie przez rozwiązywanie Najlepsza metoda - zamiast wkuwać wzory, rozwiązuj zadania. Wzory wchodzą do głowy naturalnie.
Na Sprawnej Maturze masz ponad 1000 zadań z rozwiązaniami - każde wymaga użycia tych wzorów.
Metoda 3: Kartka A4 Spisz WSZYSTKIE wzory na jednej kartce A4 (przód i tył). Powieś nad biurkiem. Przegląd co rano.
Które wzory są w tablicach?
Dla jasności - oto co JUŻ JEST w karcie wzorów CKE i nie musisz pamiętać:
• Ciąg arytmetyczny: a n a_n a n S n S_n S n • Ciąg geometryczny: a n a_n a n S n S_n S n • Trygonometria: wartości kątów, twierdzenia sinusów i cosinusów
• Pole trójkąta z sinusem kąta
• Odległość punktu od prostej
• Objętości i pola brył (graniastosłup, ostrosłup, walec, stożek, kula)
• Kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje
• Symbol Newtona
Wszystko inne - musisz znać na pamięć. Powodzenia!
Sprawdź się
Rozwiąż kilka zadań i sprawdź, czy pamiętasz wzory:
Albo po prostu wejdź na losowe zadanie i sprawdź, ile zadań rozwiążesz bez zaglądania do tablic!