Matura matematyka - wzory spoza tablic, które musisz znać na pamięć

Czego NIE znajdziesz w karcie wzorów CKE?

Na maturze z matematyki dostajesz kartę wzorów - oficjalny zestaw wzorów od CKE. Znajdziesz tam wzory na ciągi, geometrię, trygonometrię i prawdopodobieństwo. Ale wiele kluczowych wzorów nie jest w karcie. Musisz je znać na pamięć.

Poniżej znajdziesz kompletną listę wzorów spoza tablic, pogrupowaną tematycznie. Każdy z nich przydaje się na maturze.

1. Potęgi i pierwiastki

Te wzory to absolutna podstawa - używasz ich w połowie zadań na arkuszu:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{mn}$ $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$ $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

2. Wzory skróconego mnożenia

$({a+b})^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Te trzy wzory pojawiają się na maturze non-stop. Jeśli nie znasz ich na pamięć, tracisz czas na rozpisywanie mnożenia.

Rozszerzenie (dla zaawansowanych):

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Wzory skróconego mnożenia najłatwiej utrwalić na własnych liczbach. Kalkulator wzorów skróconego mnożenia rozwija kwadrat i sześcian dwumianu oraz różnicę kwadratów, a w drugą stronę zwija trójmian, o ile ten w ogóle jest kwadratem dwumianu albo różnicą kwadratów. Sumy i różnicy sześcianów nie rozkłada: te dwa wzory zostają do zapamiętania.

3. Logarytmy

$\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$ $\log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$ $\log_a a = 1$ $\log_a 1 = 0$ $a^{\log_a b} = b$

Te właściwości są potrzebne w każdym zadaniu z logarytmami na maturze. Bez nich nie rozwiążesz nawet najprostszego.

4. Funkcja liniowa

$y = ax + b$

• •$a$ - współczynnik kierunkowy (nachylenie)
• •$b$ - wyraz wolny (przecięcie z osią $Oy$)

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Proste równoległe: $a_1 = a_2$

Proste prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$

5. Funkcja kwadratowa

$f(x) = ax^2 + bx + c$ Wyróżnik:
$\Delta = b^2 - 4ac$ Miejsca zerowe (gdy $\Delta \geq 0$):
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ Wierzchołek paraboli:
$W = \left(\frac{-b}{2a},\; \frac{-\Delta}{4a}\right)$ Postać kanoniczna:
$f(x) = a(x-p)^2 + q$ Postać iloczynowa (gdy $\Delta \geq 0$):
$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ Wzory Viète'a:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

6. Procenty

Procent z liczby:
$p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a$

Zmiana procentowa:

• •Wzrost o $p\%$: $a \cdot (1 + \frac{p}{100})$
• •Spadek o $p\%$: $a \cdot (1 - \frac{p}{100})$

Procent składany:
$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Uwaga na pułapkę CKE: Wzrost o 50% a następnie spadek o 50% NIE daje wartości początkowej!

$100 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 = 75 \neq 100$

7. Geometria - wzory, których nie ma w tablicach

Środek odcinka:
$S = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ Długość odcinka:
$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ Równanie okręgu:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

środek $(a,b)$, promień $r$

Odległość punktu od prostej (ten JUŻ jest w tablicach):
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

8. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Silnia: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Prawdopodobieństwo klasyczne:
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ Symbol Newtona (jest w tablicach, ale warto znać):
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

9. Statystyka

Średnia arytmetyczna:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Mediana: Wartość środkowa po uporządkowaniu danych.

Odchylenie standardowe (wzór jest w tablicach, ale warto rozumieć):
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

Jak się tego nauczyć?

Metoda 1: Fiszki

Wydrukuj każdy wzór na osobnej fiszce. Codziennie przegląd 10 minut.

Metoda 2: Ćwiczenie przez rozwiązywanie

Najlepsza metoda - zamiast wkuwać wzory, rozwiązuj zadania. Wzory wchodzą do głowy naturalnie.

Na Sprawnej Maturze masz ponad 1000 zadań z rozwiązaniami - każde wymaga użycia tych wzorów.

Metoda 3: Kartka A4

Spisz WSZYSTKIE wzory na jednej kartce A4 (przód i tył). Powieś nad biurkiem. Przegląd co rano.

Które wzory są w tablicach?

Dla jasności - oto co JUŻ JEST w karcie wzorów CKE i nie musisz pamiętać:

• •Ciąg arytmetyczny: $a_n$, $S_n$
• •Ciąg geometryczny: $a_n$, $S_n$
• •Trygonometria: wartości kątów, twierdzenia sinusów i cosinusów
• •Pole trójkąta z sinusem kąta
• •Odległość punktu od prostej
• •Objętości i pola brył (graniastosłup, ostrosłup, walec, stożek, kula)
• •Kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje
• •Symbol Newtona

Wszystko inne - musisz znać na pamięć. Powodzenia!

Sprawdź się

Rozwiąż kilka zadań i sprawdź, czy pamiętasz wzory:

• •Zadania z potęg i pierwiastków
• •Zadania z logarytmów
• •Zadania z funkcji kwadratowej
• •Zadania z geometrii analitycznej

Albo po prostu wejdź na losowe zadanie i sprawdź, ile zadań rozwiążesz bez zaglądania do tablic!

Następny krok Losuj kolejne zadanie