Przekształcenia wykresów funkcji na maturze - przesunięcia, symetrie, skalowanie krok po kroku

Przekształcenia wykresów - temat, który pojawia się na każdej maturze

Przekształcenia wykresów funkcji to jeden z najpewniejszych tematów na maturze z matematyki. Na każdym arkuszu CKE - bez wyjątku - pojawia się przynajmniej jedno zadanie, w którym musisz przesunąć, odbić lub przeskalować wykres. Sprawdź pewniaki maturalne 2026, żeby zobaczyć, jak często ten temat wraca.

Problem w tym, że wielu maturzystów myli kierunek przesunięcia poziomego albo nie wie, jak działa wartość bezwzględna na wykresie. Te błędy kosztują punkty - niepotrzebnie, bo reguły przekształceń są proste i mechaniczne. Wystarczy je raz dobrze zrozumieć.

W tym przewodniku omówimy wszystkie przekształcenia, które mogą pojawić się na maturze podstawowej i rozszerzonej. Każde z osobna, z wzorem, interpretacją graficzną i przykładami. Na końcu - tabela podsumowująca i wskazówki do złożonych zadań.

Zanim zaczniesz, upewnij się, że dobrze znasz podstawy funkcji i potrafisz odczytywać własności z wykresu. Przekształcenia to nadbudowa nad tymi umiejętnościami.

Przesunięcie wykresu w pionie: $y = f(x) + a$

To najprostsze przekształcenie. Dodajesz stałą na zewnątrz funkcji - wykres przesuwa się w pionie.

Reguła

$$y = f(x) + a$$

Dlaczego to działa

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ wykresu $f$ zamienia się na punkt $(x_0, y_0 + a)$. Współrzędna $x$ nie zmienia się - zmieniamy tylko $y$, dlatego przesunięcie jest pionowe.

Co się zmienia, a co nie

Przykład 1

Wykres funkcji $f(x) = x^2$ przesuwamy o 3 jednostki w górę.

$$g(x) = x^2 + 3$$

Wierzchołek paraboli przesuwa się z $(0, 0)$ na $(0, 3)$. Parabola nie ma teraz miejsc zerowych (cała leży nad osią $OX$). Zbiór wartości zmienił się z $\langle 0, +\infty)$ na $\langle 3, +\infty)$.

Przesunięcie wykresu w poziomie: $y = f(x + a)$ - uwaga na kierunek!

To przekształcenie, w którym maturzyści popełniają najwięcej błędów. Stała jest wewnątrz argumentu funkcji i kierunek przesunięcia jest odwrotny do intuicji.

Reguła

$$y = f(x + a)$$

Albo równoważnie (często łatwiej zapamiętać):

$$y = f(x - p)$$

przesuwa wykres w prawo o $p$ jednostek (gdy $p > 0$).

Dlaczego kierunek jest odwrotny?

Wyobraź sobie, że chcesz, żeby nowy wykres $g(x) = f(x + 3)$ miał tę samą wartość w punkcie $x = 0$, co oryginalny wykres w punkcie $x = 3$:

$$g(0) = f(0 + 3) = f(3)$$

Wartość, która w oryginale była "na prawo" (w $x = 3$), teraz jest "na miejscu" (w $x = 0$). Wykres przesunął się w lewo.

Praktyczna zasada: patrz na znak przy $x$. Jeśli widzisz $f(x + 3)$, przesuwasz w lewo o 3. Jeśli $f(x - 3)$, przesuwasz w prawo o 3. Minus w środku = przesunięcie w prawo.

Co się zmienia, a co nie

Przykład 2

Wykres $f(x) = \sqrt{x}$ przesuwamy o 4 jednostki w prawo.

$$g(x) = f(x - 4) = \sqrt{x - 4}$$

Dziedzina: zamiast $\langle 0, +\infty)$ mamy $\langle 4, +\infty)$. Punkt startowy przesunął się z $(0, 0)$ na $(4, 0)$.

Przesunięcie o wektor - złożenie pionowego i poziomego

Na maturze często trzeba przesunąć wykres o wektor $\vec{v} = [p, q]$. To złożenie przesunięcia poziomego (o $p$) i pionowego (o $q$):

$$y = f(x - p) + q$$

Przykład 3

Przesuń wykres $f(x) = |x|$ o wektor $\vec{v} = [-2, 5]$.

$$g(x) = f(x - (-2)) + 5 = |x + 2| + 5$$

Wierzchołek "V" przesuwa się z $(0, 0)$ na $(-2, 5)$. O tym, jak działa wartość bezwzględna na maturze, przeczytasz w osobnym artykule.

Związek z funkcją kwadratową: postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$ to przesunięcie paraboli $y = ax^2$ o wektor $[p, q]$. Stąd bierze się interpretacja $(p, q)$ jako wierzchołka paraboli. Więcej w przewodniku po funkcji kwadratowej.

Odbicie względem osi OX: $y = -f(x)$

Reguła

$$y = -f(x)$$

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ zamienia się na $(x_0, -y_0)$. Wykres odbija się względem osi $OX$ - to, co było nad osią, trafia pod nią i odwrotnie.

Co się zmienia

Przykład 4

Funkcja $f(x) = \log_2 x$.

Odbicie: $g(x) = -\log_2 x$.

Wykres logarytmu, który normalnie rośnie, teraz maleje. Punkt $(1, 0)$ pozostaje na miejscu (miejsce zerowe), ale $(2, 1)$ zamienia się na $(2, -1)$, a $(4, 2)$ na $(4, -2)$.

Odbicie względem osi OY: $y = f(-x)$

Reguła

$$y = f(-x)$$

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ zamienia się na $(-x_0, y_0)$. Wykres odbija się względem osi $OY$ - lewa strona zamienia się z prawą.

Co się zmienia

Przykład 5

Funkcja $f(x) = 2^x$ (wykładnicza rosnąca).

Odbicie: $g(x) = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Wykres funkcji wykładniczej rosnącej zamienia się w wykres funkcji wykładniczej malejącej. To dlatego wykresy $y = a^x$ i $y = (1/a)^x$ są symetryczne względem osi $OY$.

Rozciągnięcie/ściśnięcie w pionie: $y = a \cdot f(x)$

Reguła

$$y = a \cdot f(x), \quad a > 0$$

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ zamienia się na $(x_0, a \cdot y_0)$.

Co się zmienia

Przykład 6

Funkcja $f(x) = \sin x$. Rozciągnięcie 3-krotne w pionie:

$$g(x) = 3\sin x$$

Amplituda zmienia się z 1 na 3. Zbiór wartości zmienia się z $\langle -1, 1 \rangle$ na $\langle -3, 3 \rangle$. Miejsca zerowe ($0, \pi, 2\pi, \ldots$) pozostają te same. Więcej o sinusoidzie w artykule o trygonometrii na maturze.

Uwaga: gdy $a < 0$, mamy jednocześnie rozciągnięcie/ściśnięcie i odbicie względem osi $OX$. Np. $y = -2f(x)$ to rozciągnięcie 2-krotne plus odbicie.

Rozciągnięcie/ściśnięcie w poziomie: $y = f(a \cdot x)$

Reguła

$$y = f(a \cdot x), \quad a > 0$$

Znów odwrotna intuicja! Tak jak przy przesunięciu poziomym - operacja wewnątrz argumentu działa "na odwrót".

Dlaczego odwrotnie?

Punkt $(x_0, y_0)$ wykresu $f$ odpowiada punktowi $(x_0/a, y_0)$ wykresu $g(x) = f(ax)$, bo $g(x_0/a) = f(a \cdot x_0/a) = f(x_0) = y_0$.

Każdy argument dzielimy przez $a$, więc:

Przykład 7

Funkcja $f(x) = \sin x$. Ściśnięcie 2-krotne w poziomie:

$$g(x) = \sin(2x)$$

Okres zmienia się z $2\pi$ na $\pi$. Wykres "gęstnieje" - w tym samym przedziale mieści się dwukrotnie więcej "fal". Amplituda nie zmienia się.

Ogólnie: $g(x) = \sin(\omega x)$ ma okres $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Wartość bezwzględna: $y = |f(x)|$

Reguła

$$y = |f(x)|$$

Część wykresu, która leży nad osią $OX$ (gdzie $f(x) \geq 0$) - zostaje bez zmian.

Część wykresu, która leży pod osią $OX$ (gdzie $f(x) < 0$) - odbija się do góry (symetria względem osi $OX$).

Co się zmienia

Przykład 8

Funkcja $f(x) = x^2 - 4$. Parabola z wierzchołkiem w $(0, -4)$, miejsca zerowe $x = -2$ i $x = 2$.

$$g(x) = |x^2 - 4|$$

Część paraboli między $x = -2$ a $x = 2$ (która leżała pod osią $OX$) odbija się do góry. Powstaje "W" kształt - wierzchołek w $(0, 4)$ zamiast $(0, -4)$. Reszta wykresu (na zewnątrz) pozostaje bez zmian.

Wartość bezwzględna argumentu: $y = f(|x|)$

Reguła

$$y = f(|x|)$$

Bierzemy część wykresu $f$ dla $x \geq 0$ i odbijamy ją symetrycznie względem osi $OY$. Lewa połowa wykresu staje się lustrzanym odbiciem prawej.

Co się zmienia

Przykład 9

Funkcja $f(x) = x - 2$. Prosta o nachyleniu 1, przecinająca oś $OX$ w $x = 2$.

$$g(x) = |x| - 2$$

Dla $x \geq 0$: $g(x) = x - 2$ (jak oryginał).

Dla $x < 0$: $g(x) = -x - 2$ (odbita prawa strona).

Powstaje wykres w kształcie litery "V" z wierzchołkiem w $(0, -2)$, otwarty do góry. To klasyczna funkcja z wartością bezwzględną.

Złożenie przekształceń - jak czytać wzór

Na maturze rzadko masz do czynienia z jednym przekształceniem. Zazwyczaj wzór łączy kilka operacji naraz. Klucz to czytanie wzoru od wewnątrz na zewnątrz (dla argumentu) i rozpoznawanie kolejności.

Przykład 10: Odczytaj przekształcenia z wzoru $g(x) = -2f(x - 3) + 1$

Rozbijamy na kroki:

1. $f(x) \to f(x - 3)$: przesunięcie w prawo o 3
2. $f(x - 3) \to 2f(x - 3)$: rozciągnięcie 2-krotne w pionie
3. $2f(x - 3) \to -2f(x - 3)$: odbicie względem osi OX
4. $-2f(x - 3) \to -2f(x - 3) + 1$: przesunięcie w górę o 1

Przykład 11: Odczytaj przekształcenia z wzoru $g(x) = f(2x + 4)$

Najpierw przekształcamy wnętrze do standardowej postaci:

$$f(2x + 4) = f(2(x + 2))$$

Teraz widzimy:

1. $f(x) \to f(x + 2)$: przesunięcie w lewo o 2
2. $f(x + 2) \to f(2(x + 2))$: ściśnięcie 2-krotne w poziomie (względem nowej pozycji)

Albo: najpierw ściśnięcie, potem przesunięcie - ale wtedy przesunięcie też się skaluje. Bezpieczniej jest wyciągnąć współczynnik jak wyżej.

Kolejność ma znaczenie!

Ogólna zasada: najpierw robimy operacje wewnątrz argumentu (przesunięcie i skalowanie poziome), potem na zewnątrz (skalowanie pionowe, odbicie, przesunięcie pionowe). Jeśli pomieszasz kolejność, wynik będzie inny.

Jak rozpoznać przekształcenie na maturze

Typ 1: "Wykres funkcji $g$ powstał z wykresu funkcji $f$ przez..."

Musisz zapisać wzór $g$ na podstawie opisu przekształcenia. Przykład:

"Wykres funkcji $g$ powstał z wykresu $f(x) = \sqrt{x}$ przez przesunięcie o wektor $[3, -2]$."

$$g(x) = \sqrt{x - 3} - 2$$

Typ 2: "Dany jest wzór $g(x) = \ldots$. Opisz przekształcenie."

Musisz rozpoznać, jakie operacje zostały wykonane na $f$. Odczytaj je od wewnątrz na zewnątrz.

Typ 3: "Który wykres przedstawia funkcję $g(x) = |f(x)|$?"

Musisz zastosować przekształcenie graficznie - np. odbić odpowiednią część wykresu. Ten typ zadania pojawia się regularnie na maturze i daje łatwe punkty.

Typ 4: "Wskaż równanie osi symetrii / współrzędne wierzchołka po przekształceniu."

Tu łączysz wiedzę o przekształceniach z własnościami konkretnej funkcji - najczęściej kwadratowej lub liniowej.

Tabela podsumowująca - wszystkie przekształcenia