Przekształcenia wykresów funkcji na maturze - przesunięcia, symetrie, skalowanie krok po kroku

Przekształcenia wykresów - temat, który pojawia się na każdej maturze

Przekształcenia wykresów funkcji to jeden z najpewniejszych tematów na maturze z matematyki. Na każdym arkuszu CKE - bez wyjątku - pojawia się przynajmniej jedno zadanie, w którym musisz przesunąć, odbić lub przeskalować wykres. Sprawdź pewniaki maturalne 2027, żeby zobaczyć, jak często ten temat wraca.

Problem w tym, że wielu maturzystów myli kierunek przesunięcia poziomego albo nie wie, jak działa wartość bezwzględna na wykresie. Te błędy kosztują punkty - niepotrzebnie, bo reguły przekształceń są proste i mechaniczne. Wystarczy je raz dobrze zrozumieć.

W tym przewodniku omówimy wszystkie przekształcenia, które mogą pojawić się na maturze podstawowej i rozszerzonej. Każde z osobna, z wzorem, interpretacją graficzną i przykładami. Na końcu - tabela podsumowująca i wskazówki do złożonych zadań.

Zanim zaczniesz, upewnij się, że dobrze znasz podstawy funkcji i potrafisz odczytywać własności z wykresu. Przekształcenia to nadbudowa nad tymi umiejętnościami.

Przesunięcie wykresu w pionie: $y = f(x) + a$

To najprostsze przekształcenie. Dodajesz stałą na zewnątrz funkcji - wykres przesuwa się w pionie.

Reguła

$y = f(x) + a$

• •Gdy $a > 0$: wykres przesuwa się w górę o $a$ jednostek
• •Gdy $a < 0$: wykres przesuwa się w dół o $|a|$ jednostek

Dlaczego to działa

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ wykresu $f$ zamienia się na punkt $(x_0, y_0 + a)$. Współrzędna $x$ nie zmienia się - zmieniamy tylko $y$, dlatego przesunięcie jest pionowe.

Co się zmienia, a co nie

Przykład 1

Wykres funkcji $f(x) = x^2$ przesuwamy o 3 jednostki w górę.

Pokaż rozwiązanie

$g(x) = x^2 + 3$

Wierzchołek paraboli przesuwa się z $(0, 0)$ na $(0, 3)$. Parabola nie ma teraz miejsc zerowych (cała leży nad osią $OX$). Zbiór wartości zmienił się z $\langle 0, +\infty)$ na $\langle 3, +\infty)$.

Przesunięcie wykresu w poziomie: $y = f(x + a)$ - uwaga na kierunek!

To przekształcenie, w którym maturzyści popełniają najwięcej błędów. Stała jest wewnątrz argumentu funkcji i kierunek przesunięcia jest odwrotny do intuicji.

Reguła

$y = f(x + a)$

• •Gdy $a > 0$: wykres przesuwa się w lewo o $a$ jednostek
• •Gdy $a < 0$: wykres przesuwa się w prawo o $|a|$ jednostek

Albo równoważnie (często łatwiej zapamiętać):

$y = f(x - p)$

przesuwa wykres w prawo o $p$ jednostek (gdy $p > 0$).

Dlaczego kierunek jest odwrotny?

Wyobraź sobie, że chcesz, żeby nowy wykres $g(x) = f(x + 3)$ miał tę samą wartość w punkcie $x = 0$, co oryginalny wykres w punkcie $x = 3$:

$g(0) = f(0 + 3) = f(3)$

Wartość, która w oryginale była "na prawo" (w $x = 3$), teraz jest "na miejscu" (w $x = 0$). Wykres przesunął się w lewo.

Praktyczna zasada: patrz na znak przy $x$. Jeśli widzisz $f(x + 3)$, przesuwasz w lewo o 3. Jeśli $f(x - 3)$, przesuwasz w prawo o 3. Minus w środku = przesunięcie w prawo.

Co się zmienia, a co nie

Przykład 2

Wykres $f(x) = \sqrt{x}$ przesuwamy o 4 jednostki w prawo.

Pokaż rozwiązanie

$g(x) = f(x - 4) = \sqrt{x - 4}$

Dziedzina: zamiast $\langle 0, +\infty)$ mamy $\langle 4, +\infty)$. Punkt startowy przesunął się z $(0, 0)$ na $(4, 0)$.

Przesunięcie o wektor - złożenie pionowego i poziomego

Na maturze często trzeba przesunąć wykres o wektor $\vec{v} = [p, q]$. To złożenie przesunięcia poziomego (o $p$) i pionowego (o $q$):

$y = f(x - p) + q$

• •$p > 0$: w prawo; $p < 0$: w lewo
• •$q > 0$: w górę; $q < 0$: w dół

Przykład 3

Przesuń wykres $f(x) = |x|$ o wektor $\vec{v} = [-2, 5]$.

Pokaż rozwiązanie

$g(x) = f(x - (-2)) + 5 = |x + 2| + 5$

Wierzchołek "V" przesuwa się z $(0, 0)$ na $(-2, 5)$. O tym, jak działa wartość bezwzględna na maturze, przeczytasz w osobnym artykule.

Związek z funkcją kwadratową: postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$ to przesunięcie paraboli $y = ax^2$ o wektor $[p, q]$. Stąd bierze się interpretacja $(p, q)$ jako wierzchołka paraboli. Więcej w przewodniku po funkcji kwadratowej.

Odbicie względem osi OX: $y = -f(x)$

Reguła

$y = -f(x)$

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ zamienia się na $(x_0, -y_0)$. Wykres odbija się względem osi $OX$ - to, co było nad osią, trafia pod nią i odwrotnie.

Co się zmienia

• •Zbiór wartości zmienia znak: jeśli $ZW_f = \langle -2, 5 \rangle$, to $ZW_{-f} = \langle -5, 2 \rangle$
• •Monotoniczność odwraca się: jeśli $f$ rosła, to $-f$ maleje
• •Miejsca zerowe nie zmieniają się ($-f(x_0) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(x_0) = 0$)
• •Dziedzina nie zmienia się

Przykład 4

Funkcja $f(x) = \log_2 x$.

Odbicie: $g(x) = -\log_2 x$.

Wykres logarytmu, który normalnie rośnie, teraz maleje. Punkt $(1, 0)$ pozostaje na miejscu (miejsce zerowe), ale $(2, 1)$ zamienia się na $(2, -1)$, a $(4, 2)$ na $(4, -2)$.

Odbicie względem osi OY: $y = f(-x)$

Reguła

$y = f(-x)$

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ zamienia się na $(-x_0, y_0)$. Wykres odbija się względem osi $OY$ - lewa strona zamienia się z prawą.

Co się zmienia

• •Dziedzina zmienia znak: jeśli $D_f = (2, 7)$, to $D = (-7, -2)$
• •Zbiór wartości nie zmienia się
• •Monotoniczność odwraca się na odwróconych przedziałach
• •Miejsca zerowe zmieniają znak

Przykład 5

Funkcja $f(x) = 2^x$ (wykładnicza rosnąca).

Odbicie: $g(x) = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Wykres funkcji wykładniczej rosnącej zamienia się w wykres funkcji wykładniczej malejącej. To dlatego wykresy $y = a^x$ i $y = (1/a)^x$ są symetryczne względem osi $OY$.

Rozciągnięcie/ściśnięcie w pionie: $y = a \cdot f(x)$

Reguła

$y = a \cdot f(x), \quad a > 0$

• •Gdy $a > 1$: wykres rozciąga się w pionie (staje się "wyższy")
• •Gdy $0 < a < 1$: wykres ściska się w pionie (staje się "niższy")

Każdy punkt $(x_0, y_0)$ zamienia się na $(x_0, a \cdot y_0)$.

Co się zmienia

• •Zbiór wartości mnożony przez $a$
• •Miejsca zerowe nie zmieniają się ($a \cdot 0 = 0$)
• •Dziedzina nie zmienia się
• •Monotoniczność nie zmienia się (gdy $a > 0$)

Przykład 6

Funkcja $f(x) = \sin x$. Rozciągnięcie 3-krotne w pionie:

$g(x) = 3\sin x$

Amplituda zmienia się z 1 na 3. Zbiór wartości zmienia się z $\langle -1, 1 \rangle$ na $\langle -3, 3 \rangle$. Miejsca zerowe ($0, \pi, 2\pi, \ldots$) pozostają te same. Więcej o sinusoidzie w artykule o trygonometrii na maturze.

Rozciągnięcie/ściśnięcie w poziomie: $y = f(a \cdot x)$

Reguła

$y = f(a \cdot x), \quad a > 0$

• •Gdy $a > 1$: wykres ściska się w poziomie ($a$ razy węższy)
• •Gdy $0 < a < 1$: wykres rozciąga się w poziomie ($1/a$ razy szerszy)

Znów odwrotna intuicja! Tak jak przy przesunięciu poziomym - operacja wewnątrz argumentu działa "na odwrót".

Dlaczego odwrotnie?

Punkt $(x_0, y_0)$ wykresu $f$ odpowiada punktowi $(x_0/a, y_0)$ wykresu $g(x) = f(ax)$, bo $g(x_0/a) = f(a \cdot x_0/a) = f(x_0) = y_0$.

Każdy argument dzielimy przez $a$, więc:

• •$a > 1$: argumenty są bliżej zera - ściśnięcie
• •$0 < a < 1$: argumenty są dalej od zera - rozciągnięcie

Przykład 7

Funkcja $f(x) = \sin x$. Ściśnięcie 2-krotne w poziomie:

$g(x) = \sin(2x)$

Okres zmienia się z $2\pi$ na $\pi$. Wykres "gęstnieje" - w tym samym przedziale mieści się dwukrotnie więcej "fal". Amplituda nie zmienia się.

Ogólnie: $g(x) = \sin(\omega x)$ ma okres $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Wartość bezwzględna: $y = |f(x)|$

Reguła

$y = |f(x)|$

Część wykresu, która leży nad osią $OX$ (gdzie $f(x) \geq 0$) - zostaje bez zmian.

Część wykresu, która leży pod osią $OX$ (gdzie $f(x) < 0$) - odbija się do góry (symetria względem osi $OX$).

Co się zmienia

• •Zbiór wartości: wszystkie wartości stają się nieujemne - $ZW = \langle 0, +\infty) \cap \ldots$
• •Monotoniczność: zmienia się w przedziałach, gdzie $f(x) < 0$
• •Miejsca zerowe: te same
• •Dziedzina: ta sama

Przykład 8

Funkcja $f(x) = x^2 - 4$. Parabola z wierzchołkiem w $(0, -4)$, miejsca zerowe $x = -2$ i $x = 2$.

Pokaż rozwiązanie

$g(x) = |x^2 - 4|$

Część paraboli między $x = -2$ a $x = 2$ (która leżała pod osią $OX$) odbija się do góry. Powstaje "W" kształt - wierzchołek w $(0, 4)$ zamiast $(0, -4)$. Reszta wykresu (na zewnątrz) pozostaje bez zmian.

Wartość bezwzględna argumentu: $y = f(|x|)$

Reguła

$y = f(|x|)$

Bierzemy część wykresu $f$ dla $x \geq 0$ i odbijamy ją symetrycznie względem osi $OY$. Lewa połowa wykresu staje się lustrzanym odbiciem prawej.

Co się zmienia

• •Wykres jest zawsze symetryczny względem osi $OY$
• •Dziedzina staje się symetryczna
• •Monotoniczność: prawa strona jak oryginał, lewa - odbita

Przykład 9

Funkcja $f(x) = x - 2$. Prosta o nachyleniu 1, przecinająca oś $OX$ w $x = 2$.

Pokaż rozwiązanie

$g(x) = |x| - 2$

Dla $x \geq 0$: $g(x) = x - 2$ (jak oryginał).

Dla $x < 0$: $g(x) = -x - 2$ (odbita prawa strona).

Powstaje wykres w kształcie litery "V" z wierzchołkiem w $(0, -2)$, otwarty do góry. To klasyczna funkcja z wartością bezwzględną.

Złożenie przekształceń - jak czytać wzór

Na maturze rzadko masz do czynienia z jednym przekształceniem. Zazwyczaj wzór łączy kilka operacji naraz. Klucz to czytanie wzoru od wewnątrz na zewnątrz (dla argumentu) i rozpoznawanie kolejności.

Kolejność ma znaczenie!

Ogólna zasada: najpierw robimy operacje wewnątrz argumentu (przesunięcie i skalowanie poziome), potem na zewnątrz (skalowanie pionowe, odbicie, przesunięcie pionowe). Jeśli pomieszasz kolejność, wynik będzie inny.

Jak rozpoznać przekształcenie na maturze

Typ 1: "Wykres funkcji $g$ powstał z wykresu funkcji $f$ przez..."

Musisz zapisać wzór $g$ na podstawie opisu przekształcenia. Przykład:

"Wykres funkcji $g$ powstał z wykresu $f(x) = \sqrt{x}$ przez przesunięcie o wektor $[3, -2]$."

$g(x) = \sqrt{x - 3} - 2$

Typ 2: "Dany jest wzór $g(x) = \ldots$. Opisz przekształcenie."

Musisz rozpoznać, jakie operacje zostały wykonane na $f$. Odczytaj je od wewnątrz na zewnątrz.

Typ 3: "Który wykres przedstawia funkcję $g(x) = |f(x)|$?"

Musisz zastosować przekształcenie graficznie - np. odbić odpowiednią część wykresu. Ten typ zadania pojawia się regularnie na maturze i daje łatwe punkty.

Typ 4: "Wskaż równanie osi symetrii / współrzędne wierzchołka po przekształceniu."

Tu łączysz wiedzę o przekształceniach z własnościami konkretnej funkcji - najczęściej kwadratowej lub liniowej.

Tabela podsumowująca - wszystkie przekształcenia

Wydrukuj tę tabelę i miej ją pod ręką podczas ćwiczeń. Po kilkunastu zadaniach reguły wchodzą do pamięci.

Typowe pułapki - gdzie maturzyści tracą punkty

1. Przesunięcie poziome w złą stronę

To pułapka numer jeden. Zapamiętaj raz na zawsze:

$f(x \mathbf{+} a) \to \text{przesunięcie w } \mathbf{lewo}$
$f(x \mathbf{-} a) \to \text{przesunięcie w } \mathbf{prawo}$

Znak w środku jest odwrotny do kierunku przesunięcia. Sprawdź to na konkretnym punkcie, jeśli masz wątpliwości.

2. Mylenie $|f(x)|$ z $f(|x|)$

To dwa zupełnie różne przekształcenia:

• •$|f(x)|$ - odbij pod-osiową część wykresu do góry
• •$f(|x|)$ - odbij prawą stronę wykresu na lewą

Na maturze CKE lubi dawać oba warianty jako odpowiedzi do wyboru. Nie daj się złapać.

3. Złe skalowanie poziome

$f(2x) \to \text{ściśnięcie 2-krotne (nie rozciągnięcie!)}$

Mnożenie argumentu przez liczbę większą od 1 ściska wykres, nie rozciąga. Działanie w argumencie jest odwrotne do tego, co sugeruje wartość.

4. Pominięcie wpływu na dziedzinę

Przesunięcie wykresu zmienia dziedzinę! Jeśli $D_f = \langle 0, +\infty)$, to po przesunięciu w prawo o 3: $D_g = \langle 3, +\infty)$. CKE lubi pytać o dziedzinę po przekształceniu - nie zapomnij jej wyznaczyć.

5. Niewłaściwa kolejność przy złożeniu

Przy $g(x) = 2f(x-1) + 3$ nie rób: "przesunięcie w górę o 3, potem rozciągnięcie 2-krotne". Prawidłowa kolejność: najpierw przesunięcie w prawo o 1, potem rozciągnięcie 2-krotne w pionie, na końcu przesunięcie w górę o 3.

Więcej o typowych błędach w artykule o najczęstszych pomyłkach na maturze i o tym, jak unikać błędów rachunkowych.

Przekształcenia w kontekście konkretnych funkcji

Funkcja kwadratowa

Postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$ to zapis z przekształceniami: parabola $y = ax^2$ przesunięta o wektor $[p, q]$. Dlatego $(p, q)$ to wierzchołek, a $x = p$ to oś symetrii.

Funkcja wykładnicza

$y = 2^{x-3} + 1 = f(x-3) + 1$

To przesunięcie wykresu $y = 2^x$ o wektor $[3, 1]$. Asymptota pozioma przesuwa się z $y = 0$ na $y = 1$.

Trygonometria

$y = 3\sin(2x - \pi) + 1 = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right) + 1$

Czytamy: ściśnięcie poziome 2-krotne, przesunięcie w prawo o $\frac{\pi}{2}$, rozciągnięcie pionowe 3-krotne, przesunięcie w górę o 1. Amplituda 3, okres $\pi$, przesunięcie fazowe $\frac{\pi}{2}$.

Więcej o sinusoidach i trygonometrii na maturze.

Jak ćwiczyć przekształcenia

1. 1.Zacznij od zadań z funkcji - tam jest najwięcej zadań z przekształceniami
2. 2.Przećwicz na funkcji kwadratowej - postać kanoniczna to gotowe przesunięcie o wektor
3. 3.Rozwiąż zadania z funkcji liniowej - proste wykresy ułatwiają wizualizację
4. 4.Spróbuj zadań z trygonometrii - sinusoida łączy wszystkie rodzaje przekształceń
5. 5.Sprawdź arkusze maturalne, żeby zobaczyć, jak CKE formułuje te zadania w praktyce
6. 6.Przeczytaj jak punktowane są zadania na maturze, żeby wiedzieć, co musisz napisać, a co można pominąć

Przekształcenia wykresów to temat czysto mechaniczny. Nie ma tu żadnej "wyższej matematyki" - wystarczy znać reguły z tabeli i umieć je stosować. Kilkanaście rozwiązanych zadań i ten temat staje się źródłem pewnych punktów na maturze.

Następny krok Losuj kolejne zadanie