Procenty na maturze z matematyki - wzory, procent składany i zadania z rozwiązaniami

Procenty - praktyczna matematyka, która zawsze jest na maturze

Procenty to jeden z najbardziej praktycznych działów matematyki maturalnej. Zadania z procentów pojawiają się na każdym arkuszu CKE - od prostych obliczeń za 1 punkt po złożone problemy z procentem składanym za 4-5 punktów. W naszej bazie zadań z procentów mamy ponad 70 zadań z prawdziwych matur.

Co ważne, procenty łączą się z wieloma innymi działami: z ciągami geometrycznymi (procent składany to ciąg geometryczny!), z funkcją wykładniczą i z równaniami.

Podstawowe obliczenia procentowe

Procent liczby

$p\% \text{ z } a = \frac{p}{100} \cdot a$ Przykład: 23% z 500 zł (VAT):
$\frac{23}{100} \cdot 500 = 115 \text{ zł}$

Jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$?

$p = \frac{b}{a} \cdot 100\%$ Przykład: Jakim procentem liczby 200 jest liczba 50?
$\frac{50}{200} \cdot 100\% = 25\%$

Obliczanie całości, gdy znamy procent

Jeśli $p\%$ z pewnej liczby $x$ wynosi $b$, to:

$x = \frac{b \cdot 100}{p}$ Przykład: 15% pewnej liczby wynosi 45. Jaka to liczba?
$x = \frac{45 \cdot 100}{15} = 300$

Podwyżki i obniżki

To jeden z najczęstszych typów zadań na maturze. Na maturze próbnej z lutego 2026 pojawiło się zadanie z podwyżką ceny.

Podwyżka o $p\%$

$\text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Mnożnik podwyżki: $1 + \frac{p}{100}$

Przykład: Podwyżka o 20%: mnożnik = $1{,}20$

Obniżka o $p\%$

$\text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot (1 - \frac{p}{100})$

Mnożnik obniżki: $1 - \frac{p}{100}$

Przykład: Obniżka o 30%: mnożnik = $0{,}70$

Pułapka z kolejnymi zmianami procentowymi

Podwyżka o 20%, a potem obniżka o 20% - czy wracamy do ceny wyjściowej?

$100 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 96 \neq 100$

NIE! To klasyczna pułapka maturalna. Mnożniki się nie "kasują". Wynik to 96% ceny wyjściowej, czyli strata 4%.

Ogólna zasada: podwyżka o $p\%$, potem obniżka o $p\%$ daje:

$(1 + \frac{p}{100})(1 - \frac{p}{100}) = 1 - \frac{p^2}{10000}$

Zawsze tracisz $\frac{p^2}{10000} \cdot 100\%$ wartości.

Dokładnie te rachunki liczy kalkulator procentów maturalnych: podwyżkę i obniżkę, cenę sprzed zmiany, o ile procent jedna liczba różni się od drugiej, punkty procentowe, VAT i procent składany. Każdy tryb pokazuje podstawienie, więc widać, skąd bierze się wynik.

Procent składany

To ulubiony temat CKE w zadaniach otwartych. Procent składany to w istocie ciąg geometryczny - kolejne wartości mnożymy przez stały iloraz.

Wzór

$K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

Gdzie:

• •$K_0$ - kapitał początkowy
• •$r$ - stopa procentowa (roczna)
• •$n$ - liczba lat (lub okresów kapitalizacji)
• •$K_n$ - wartość po $n$ okresach

Przykład: Lokata bankowa

Wpłacasz 10 000 zł na lokatę z oprocentowaniem 5% rocznie (kapitalizacja roczna). Ile będziesz mieć po 3 latach?

$K_3 = 10000 \cdot (1{,}05)^3 = 10000 \cdot 1{,}157625 = 11576{,}25 \text{ zł}$

Podstaw własne liczby w kalkulatorze procentu składanego i sprawdź wynik dla dowolnego kapitału, oprocentowania i liczby okresów.

Spadek wartości (deprecjacja)

Ten sam wzór, ale z minusem:

$W_n = W_0 \cdot (1 - \frac{r}{100})^n$ Przykład: Samochód traci 15% wartości rocznie. Po 4 latach:
$W_4 = W_0 \cdot (0{,}85)^4 = W_0 \cdot 0{,}52200625 \approx 52{,}2\% \text{ wartości}$

Połącz wiedzę z potęgami - obliczanie potęg ułamkowych jest tu kluczowe.

Zadania tekstowe z procentami - strategia rozwiązywania

1. 1.Zidentyfikuj, co jest 100% (wartość bazowa)
2. 2.Wypisz mnożniki - podwyżka $\times 1{,}p$, obniżka $\times (1-\frac{p}{100})$
3. 3.Pomnóż po kolei - nie dodawaj/odejmuj procentów!
4. 4.Sprawdź wynik - czy jest sensowny?

Typowe pułapki

• •"Cena wzrosła o 100%" - to podwojenie (mnożnik 2,00), nie dodanie 100 zł
• •"Sprzedano 60% towaru. Ile procent zostało?" - 40%, ale uwaga na pytanie "o ile procent zmniejszył się zapas" - to też 60%, nie 40%
• •Kolejne procentowe zmiany - nigdy nie dodawaj procentów, zawsze mnóż

Więcej pułapek w najczęstszych błędach na maturze.

VAT i ceny netto/brutto

Choć to nie jest osobny dział, zadania z VAT-em pojawiają się regularnie:

$\text{brutto} = \text{netto} \cdot (1 + \frac{\text{VAT}}{100})$ $\text{netto} = \frac{\text{brutto}}{1 + \frac{\text{VAT}}{100}}$ Przykład: Cena brutto wynosi 246 zł (VAT 23%). Jaka jest cena netto?
$\text{netto} = \frac{246}{1{,}23} = 200 \text{ zł}$

Jak ćwiczyć

1. 1.Rozwiąż ponad 70 zadań z procentów z naszej bazy CKE
2. 2.Przećwicz ciągi geometryczne - procent składany to ich zastosowanie
3. 3.Sprawdź się na arkuszu z maja 2025
4. 4.Powtórz wzory spoza tablic, szczególnie wzór na procent składany
5. 5.Przejdź do symulatora matury i przećwicz cały arkusz na czas

Procenty to dział, w którym nie wolno się pomylić. Każde zadanie jest proste, jeśli zastosujesz mnożniki zamiast dodawania procentów. Przećwicz to na tyle, żeby było automatyczne.

Następny krok Losuj kolejne zadanie