Rozważamy wszystkie prostopadłościany A B C D E F G H, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=11/2
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wiemy, że |BC|=4. Dodatkowo przyjmijmy, że druga krawędź podstawy ma długość x, a wysokość oznaczmy jako h. Z treści zadania wynika, że suma trzech długości krawędzi jest równa 15, zatem:
4+x+h=15 x+h=11 h=11-x
Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
P=2 · (4 · x+4 · h+x · h) P=2 · (4x+4h+xh) P=8x+8h+2xh
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji P(x).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną x. Aby tego dokonać, podstawmy wartość h z równania h=11-x do równania P=8x+2xh+8h, zatem:
P=8x+2x · (11-x)+8 · (11-x) P=8x+22x-2x²+88-8x P=-2x²+22x+88
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem -2x²+22x+88. Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości x otrzymamy konkretną wartość P). Tym samym moglibyśmy zapisać, że P(x)=-2x²+22x+88.
Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
x>0 11-x>0 x>0 11>x x>0 x<11
Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz x musi być większy od zera i mniejszy od 11, zatem dziedziną tej funkcji będzie x ∈ (0,11).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik a=-2). Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego x to pole P będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości x ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną x_W wierzchołka paraboli:
x_W=-b/(2a) x_W=-22/(2 · (-2)) x_W=-22/-4 x_W=5,5
Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu będzie największe, gdy x=5,5.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.