Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC przez β (zobacz rysunek). a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 4/3 b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta β jest równy A. 2/√(13) B. 3/√(13) C. 5/(2√(13)) D. 4/5
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) D b) A
a) Z treści zadania wynika, że punkt D dzieli nam bok AB na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że |AD|=6:2=3.
Spójrzmy teraz na trójkąt ADC. Jest to trójkąt prostokątny, w którym dolna przyprostokątna ma długość 3, natomiast przeciwprostokątna ma długość 5. Widzimy więc, że jest to klasyczny trójkąt pitagorejski o bokach 3, 4 oraz 5. Jeśli tego nie widzimy, to zawsze możemy długość drugiej przyprostokątnej obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.
Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko naszego kąta, względem przyprostokątnej, która leży przy tym kącie. W naszym przypadku tangens będzie zatem równy:
tg α=4/3
b) Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej BC.
Spójrzmy na trójkąt ABC. Wiemy, że przyprostokątne tego trójkąta mają długość 4 oraz 6. Do obliczenia sinusa będziemy potrzebować jeszcze przeciwprostokątnej, którą możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
4²+6²=c² 16+36=c² c²=52 c=√(52) c=-√(52)
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku trójkąta musi być dodatnia. Zostaje nam zatem c=√(52), co możemy jeszcze rozpisać jako:
c=√(52)=√(4 · 13)=2√(13)
Krok 2. Obliczenie sinusa kąta β.
Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta, względem przeciwprostokątnej. W naszym przypadku moglibyśmy więc zapisać, że:
sinβ=4/(2√(13)) sinβ=2/√(13)
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.