Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=64π
Krok 1. Analiza przekroju osiowego stożka.
Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, a wysokość stożka dzieli ten kąt na dwie równe części. Skoro kąt rozwarcia ma miarę 120°, to po każdej stronie wysokości powstaje trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°.
W takim trójkącie przy wierzchołku stożka leży kąt 60°, przy podstawie kąt 30°, tworząca o długości 8 jest przeciwprostokątną, wysokość stożka H leży naprzeciwko kąta 30°, a promień podstawy r leży naprzeciwko kąta 60°.
Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.
Korzystając z własności trójkątów o kątach 30°, 60°, 90° wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:
H=8:2 H=4
I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie √(3) razy większy od jego wysokości, zatem:
r=4√(3)
Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:
V=1/3 P_p · H V=1/3 · π · r² · H V=1/3 · π · (4√(3))² · 4 V=1/3 · 16 · 3 · 4 · π V=64π
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.