Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg (2 m+11, m²+3,5-m) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: m=5/2
Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
a₂=(a₁+a₃)/2
Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
m²+3=(2m+11+5-m)/2 m²+3=(m+16)/2 2m²+6=m+16 2m²-m-10=0
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: a=2, b=-1, c=-10
Δ=b²-4ac=(-1)²-4 · 2 · (-10)=1-(-80)=1+80=81 √(Δ)=√(81)=9
m₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-1)-9)/(2 · 2)=(1-9)/4=-8/4=-2 m₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-1)+9)/(2 · 2)=(1+9)/4=10/4=2,5
Krok 3. Ustalenie, kiedy ciąg będzie malejący.
Wiemy już, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy m=-2 oraz gdy m=2,5. Musimy jeszcze ustalić, dla którego z tych przypadków, ciąg ten będzie malejący. Podstawmy zatem wyznaczone m do wyrażeń z treści zadania i zobaczmy co otrzymamy:
Gdy m=-2:
a₁=2 · (-2)+11=-4+11=7 a₂=(-2)²+3=4+3=7 a₃=5-(-2)=5+2=7
Gdy m=2,5:
a₁=2 · 2,5+11=5+11=16 a₂=2,5²+3=6,25+3=9,25 a₃=5-2,5=2,5
Widzimy więc, że dla m=-2 ciąg jest stały, a dla m=2,5 ciąg jest rzeczywiście malejący (różnica tego ciągu będzie równa r=-6,75). Stąd też jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie m=2,5.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.