Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P=(0,0) leży na okręgu O o środku w punkcie S=(2,4). Okrąg O jest określony równaniem
Odpowiedzi do wyboru
- A.(x-2)²+(y-4)²=2√(5)
- B.(x-2)²+(y-4)²=20
- C.(x+2)²+(y+4)²=2√(5)
- D.(x+2)²+(y+4)²=20
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień okręgu będzie równy długości odcinka PS, który łączy punkt P ze środkiem okręgu S.
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów S oraz P.
|PS|=√((x_S-x_P)²+(y_S-y_P)²) |PS|=√((2-0)²+(4-0)²) |PS|=√(2²+4²) |PS|=√(4+16) |PS|=√(20)
Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, ale tutaj nie jest to konieczne, zwłaszcza że za chwilę do równania okręgu będziemy potrzebować wartości r². Możemy więc zapisać, że r=√(20).
Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako (x-a)²+(y-b)²=r², gdzie a oraz b to współrzędne środka okręgu S=(a;b), natomiast r to promień okręgu. W naszym przypadku a=2 oraz b=4, natomiast r²=20. Skoro tak, to poszukiwanym równaniem okręgu będzie:
(x-2)²+(y-4)²=20
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.