Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n²+2n+7 jest podzielna przez 4.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Rozpisanie podanej liczby.
W algebrze liczby parzyste możemy zapisać jako 2k, a liczby nieparzyste jako 2k+1 (gdzie k jest liczbą całkowitą). Podstawiając zatem wyrażenie 2k+1 do naszej liczby, otrzymamy:
3 · (2k+1)²+2 · (2k+1)+7= =3 · (4k²+4k+1)+4k+2+7= =12k²+12k+3+4k+2+7= =12k²+16k+12= =4 · (3k²+4k+3)
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wartość wyrażenia 3k²+4k+3 jest dodatnia, a tym samym wyłączona czwórka przed nawias oznacza, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez 4, co należało udowodnić.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.