Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=11,|BC|=12 oraz |∢ABC|=60° (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Trójkąt ABC jest równoramienny. P F Pole trójkąta ABC jest równe 33√(3). P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: FP
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Chcąc poznać długość trzeciego boku trójkąta, możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
c²=a²+b²-2ab · cosγ
Podstawiając miary z treści zadania, otrzymamy:
c²=11²+12²-2 · 11 · 12 · cos60° c²=121+144-264 · 1/2 c²=265-132 c²=133 c=√(133) c=-√(133)
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku musi być dodatnia), zatem zostaje nam c=√(133). Otrzymany wynik jest więc różny od pozostałych miar tego trójkąta, co prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt ma wszystkie boki różnej długości. Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Chcąc obliczyć pole tego trójkąta, możemy skorzystać z następującego wzoru:
P=1/2 ab · sinα
Podstawiając znane miary do tego wzoru, otrzymamy:
P=1/2 · 11 · 12 · sin60° P=66 · √(3)/2 P=33√(3)
Zdanie jest więc prawdą.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.