W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3). a) Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia. b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x = 3 B. x = -3 C. y = 6 D. y = -6 c) Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x)-3. Liczby x₁ oraz x₂ są różnymi miejscami zerowymi funkcji g. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Suma x₁+x₂ jest równa ……………
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) f(x)=-1/3(x-3)²+6 b) A c) 6
a) W zadaniu skorzystamy z postaci kanonicznej typu f(x)=a(x-p)²+q, gdzie p oraz q to współrzędne wierzchołka paraboli W=(p;q). Moglibyśmy więc zapisać, że:
f(x)=a(x-3)²+6
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika a. Poznamy go, gdy podstawimy współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią Oy, czyli punktu o współrzędnych (0,3). W związku z tym:
3=a(0-3)²+6 3=a(-3)²+6 3=9a+6 -3=9a a=-1/3
To oznacza, że ta funkcja wyraża się wzorem:
f(x)=-1/3(x-3)²+6
b) Oś symetrii paraboli to linia równoległa do osi Oy, która przechodzi przez wierzchołek. W naszym przypadku osią symetrii będzie więc prosta opisana równaniem x=3.
c) Miejscami zerowymi są argumenty x, dla których funkcja przyjmuje wartość równą 0. Ze wzoru g(x)=f(x)-3 wynika, że funkcja g(x) powstaje w wyniku przesunięcia się funkcji f(x) o trzy jednostki w dół. To sprawi, że pierwszym miejscem zerowym takiej funkcji będzie x₁=0, a drugim będzie x₂=6.
Tym samym:
x₁+x₂=0+6=6
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.