Matura maj 2025 matematyka - omówienie arkusza i rozwiązania zadań

O arkuszu - Matura maj 2025

Matura z matematyki na poziomie podstawowym w głównym terminie 2025 roku odbyła się 6 maja. Arkusz zawierał 31 zadań za łącznie 50 punktów. To pierwszy majowy arkusz w formule 2023 wart 50 punktów, a nie 46. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Ten arkusz jest świetnym materiałem do ćwiczeń przed maturą 2027, bo odzwierciedla aktualną formułę egzaminu i pokazuje, jakich zadań można się spodziewać.

Analiza trudności

Łatwe punkty

Początek arkusza to klasyczne zadania na upraszczanie wyrażeń algebraicznych, logarytmy i potęgi. Typowe przykładowe zadanie:

Zadanie 1: Oblicz $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ $(4\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Odpowiedź: B

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 2: Oblicz $\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$

$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}} = 1+5+25 = 31$

Trick: wyciągamy $5^{12}$ przed nawias w liczniku. Tak samo upraszczasz każdy ułamek, w którego liczniku stoi suma potęg o tej samej podstawie.

Odpowiedź: B

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 3: Oblicz $\log_{3}108-2\log_{3}2$

$\log_{3}108 - 2\log_{3}2 = \log_{3}108 - \log_{3}4 = \log_{3}\frac{108}{4} = \log_{3}27 = 3$

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Średnie zadania

Tu zaczynają się zadania wymagające więcej myślenia:

Zadanie 5 - Dowodzenie (2 pkt): Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^{2}+2n+7$ jest podzielna przez 4.

Rozwiązanie:

Skoro $n$ jest nieparzyste, to $n = 2k+1$ dla pewnego $k \in \mathbb{N}_0$.

$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k+1)^2 + 2(2k+1) + 7$ $= 3(4k^2+4k+1) + 4k + 2 + 7$ $= 12k^2 + 12k + 3 + 4k + 9$ $= 12k^2 + 16k + 12$ $= 4(3k^2 + 4k + 3)$

Wyrażenie $3k^2 + 4k + 3$ jest liczbą naturalną, więc $3n^2+2n+7$ jest podzielne przez 4. $\square$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Procenty (2 pkt): Zarząd firmy wydzielił 1 200 000 zł łącznie na projekty badawcze dla zespołów A i B. W pierwszym półroczu oba zespoły wykorzystały razem 146 700 zł: zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B 11%. Trzeba obliczyć kwotę przyznaną zespołowi A.

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza kwotę zespołu A. Wtedy zespół B dostał $1200000-x$, a wydatki obu zespołów to:

$0{,}13x+0{,}11(1200000-x)=146700$ $0{,}13x+132000-0{,}11x=146700$ $0{,}02x=14700 \implies x=735000$

Sprawdzenie: $0{,}13\cdot 735000=95550$ i $0{,}11\cdot 465000=51150$, razem $146700$ zł. Klucz to jedna niewiadoma dla kwoty A i zapisanie kwoty B jako reszty z budżetu.

Odpowiedź: zespół A otrzymał 735 000 zł.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 10 - Nierówność kwadratowa (2 pkt): Rozwiąż nierówność $3(2x^{2}+1) < 11x$

Rozwiązanie:

$6x^2 + 3 < 11x$ $6x^2 - 11x + 3 < 0$

Obliczamy deltę: $\Delta = 121 - 72 = 49$, $\sqrt{\Delta} = 7$

$x_1 = \frac{11-7}{12} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{11+7}{12} = \frac{3}{2}$

Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a = 6 > 0$), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność $< 0$ spełniają wartości między pierwiastkami:

$x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Trudne zadania

Najwięcej punktów w tym arkuszu dają zadania 11 i 12 (po 4 pkt), ciąg arytmetyczny w zadaniu 15 i stożek w zadaniu 25 (po 3 pkt) oraz zadanie optymalizacyjne z prostopadłościanem na samym końcu (31, 4 pkt). Geometria analityczna i prawdopodobieństwo to tym razem wyłącznie zadania za 1 punkt.

Zadanie 11 - Funkcja określona przedziałami (4 pkt):

Funkcja $f$ zdefiniowana przedziałami:

$f(x)= \begin{cases} x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2]\\ 3 & \text{dla } x\in(-2,2]\\ -3x+9 & \text{dla } x\in(2,4) \end{cases}$

Wykres funkcji jest podany w arkuszu, a zadanie polega na uzupełnieniu czterech przedziałów: dziedziny, zbioru wartości, zbioru argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartości dodatnie, oraz zbioru rozwiązań równania $f(x)=3$. Każdy podpunkt da się sprawdzić rachunkiem na wzorach:

• •dziedzina to suma przedziałów ze wzoru: $[-4,4)$;
• •pierwszy kawałek daje wartości od $1$ do $3$, drugi stałą $3$, a trzeci wartości od $-3$ (nieosiągnięte, bo $4$ nie należy do dziedziny) do $3$ (też nieosiągnięte, bo $2$ nie należy do tego kawałka), więc zbiór wartości to $(-3,3]$;
• •$-3x+9>0$ dla $x<3$, a pozostałe kawałki są dodatnie w całości, więc wartości dodatnie są dla $x\in[-4,3)$;
• •$f(x)=3$ na całym przedziale $(-2,2]$ i dodatkowo dla $x=-2$, bo $-2+5=3$. Stąd zbiór rozwiązań to $[-2,2]$. Ten koniec przedziału łatwo przeoczyć.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Statystyki arkusza

• •Początek arkusza: zadania 1-5 (potęgi, pierwiastki, logarytm, wzory skróconego mnożenia i dowód podzielności) dają 6 punktów
• •Najwięcej punktów w jednej kategorii z tabeli: stereometria, 3 zadania za 8 pkt (stożek za 3 pkt, przekątna sześcianu za 1 pkt i optymalizacja z prostopadłościanem za 4 pkt), oraz ciągi, 3 zadania za 6 pkt. Jeśli policzyć razem wszystkie zadania o funkcjach (11, 12 i 13), wychodzi 9 pkt
• •Pewniaki, które się pojawiły: upraszczanie wyrażeń, nierówność kwadratowa, ciąg arytmetyczny, proste równoległe i równanie okręgu
• •Podział punktów: 20 zadań za 1 punkt (20 pkt) i 11 zadań za 2-4 punkty (30 pkt)

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 31 zadań z rozwiązaniami są dostępne na Sprawnej Maturze:

Zadania za 1 punkt:

• •Zadanie 1 - Potęgi: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2$
• •Zadanie 2 - Potęgi: $\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$
• •Zadanie 3 - Logarytmy
• •Zadanie 4 - Wyrażenia algebraiczne
• •Zadanie 6 - Nierówność liniowa na osi liczbowej
• •Zadanie 7 - Równanie w postaci iloczynowej
• •Zadanie 8 - Wyrażenie wymierne
• •Zadanie 13 - Funkcja liniowa bez miejsca zerowego
• •Zadanie 16 - Ciąg geometryczny: czwarty wyraz
• •Zadanie 17 - Trygonometria: cosinus kąta ostrego
• •Zadanie 19 - Kąt wpisany i kąt środkowy
• •Zadanie 20 - Trójkąty podobne
• •Zadanie 21 - Trójkąt z kątem $60^\circ$ (prawda czy fałsz)
• •Zadanie 22 - Przekątna kwadratu w układzie współrzędnych
• •Zadanie 23 - Proste równoległe z parametrem
• •Zadanie 24 - Równanie okręgu
• •Zadanie 26 - Przekątna sześcianu
• •Zadanie 27 - Kombinatoryka: liczby trzycyfrowe
• •Zadanie 28 - Prawdopodobieństwo: dwa rzuty kostką
• •Zadanie 29 - Średnia arytmetyczna

Zadania za 2-4 punkty:

• •Zadanie 5 - Dowodzenie podzielności (2 pkt)
• •Zadanie 9 - Procenty i układy równań (2 pkt)
• •Zadanie 10 - Nierówność kwadratowa (2 pkt)
• •Zadanie 11 - Funkcja przedziałami (4 pkt)
• •Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa: postać kanoniczna, oś symetrii, miejsca zerowe (4 pkt)
• •Zadanie 14 - Ciąg określony rekurencyjnie (2 pkt)
• •Zadanie 15 - Ciąg arytmetyczny malejący (3 pkt)
• •Zadanie 18 - Trójkąt prostokątny ze środkową: tangens i sinus (2 pkt)
• •Zadanie 25 - Objętość stożka (3 pkt)
• •Zadanie 30 - Mediana i dominanta z diagramu (2 pkt)
• •Zadanie 31 - Optymalizacja: pole prostopadłościanu (4 pkt)

Cały arkusz: Matura maj 2025 - wszystkie zadania

Wnioski dla maturzystów 2027

Jeśli przygotowujesz się do matury 2027, ten arkusz uczy nas kilku rzeczy:

1. 1.Potęgi i pierwiastki na start - zadania 1, 2, 4 i 5 to potęgi, pierwiastki i wzory skróconego mnożenia, razem 5 punktów. Te przekształcenia musisz robić bez zastanowienia
2. 2.Geometria analityczna to trzy zadania za 1 punkt (zad. 22-24): przekątna kwadratu ze współrzędnych, proste równoległe i równanie okręgu. Wystarczą wzór na długość odcinka, warunek równoległości prostych i równanie okręgu
3. 3.Ciągi to 3 zadania za 6 punktów (zad. 14-16): ciąg rekurencyjny, ciąg arytmetyczny za 3 punkty i ciąg geometryczny. Wzory masz w tablicach, musisz tylko umieć je stosować
4. 4.Stereometria to 3 zadania za 8 punktów, w tym stożek (3 pkt) i optymalizacja z prostopadłościanem (4 pkt). Jeśli celujesz w wysoki wynik, musisz je opanować
5. 5.Dowodzenie - w tym arkuszu dowód był w zadaniu 5, więc przygotuj się na zadania „wykaż, że...”

Na Sprawnej Maturze każde zadanie z tego arkusza ma pełne rozwiązanie krok po kroku. Zacznij od najnowszych arkuszy i ćwicz codziennie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie