Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB| = 400 m oraz |CD| = 100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe - E oraz F - na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek). Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia. Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_(ABCD)=P_(ABFE)+P_(EFCD)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 50 m x 200 m, 10000 m²
Krok 1. Obliczenie pola trapezu ABCD.
Na początek obliczmy pole trapezu ABCD. Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ a=400, b=100 oraz h=75, zatem:
P_(ABCD)=1/2 · (a+b) · h=1/2 · (400+100) · 75=1/2 · 500 · 75=18750
Krok 2. Zapisanie równań.
Musimy teraz skorzystać ze wskazówki, czyli z podpowiedzi, że P_(ABCD)=P_(ABFE)+P_(EFCD).
Oznaczmy boki prostokąta jako x (poziomy) oraz y (pionowy).
Trapez ABFE będzie mieć podstawy o długości 400 oraz x, natomiast wysokość to y. Jego pole:
P_(ABFE)=1/2 · (400+x) · y=200y+1/2 xy
Trapez EFCD będzie mieć podstawy o długości x oraz 100, natomiast wysokość to 75-y. Jego pole:
P_(EFCD)=1/2 · (x+100) · (75-y)=75/2 x-1/2 xy+3750-50y
Podstawiając do P_(ABCD)=P_(ABFE)+P_(EFCD):
18750=200y+1/2 xy+75/2 x-1/2 xy+3750-50y
15000=150y+75/2 x
y=-1/4 x+100
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji P(x).
Pole prostokąta P=x · y. Podstawiając y=-1/4 x+100:
P(x)=x · (-1/4 x+100)=-1/4 x²+100x
Dziedzina: x ∈ (100;400).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Współczynnik a=-1/4 jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane do dołu - największa wartość jest w wierzchołku:
x_W=-b/(2a)=-100/(2 · (-1/4))=-100/(-1/2)=200
Otrzymany wynik mieści się w dziedzinie.
Krok 5. Wyznaczenie długości drugiego boku i obliczenie pola.
y=-1/4 · 200+100=-50+100=50
Pole naszego prostokąta:
P=200 m · 50 m=10000 m²
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.