Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się w punkcie D, przy czym |BC| = 4 i |CD| = 3 (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odległość punktu A od prostej l jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.7/2
- B.5
- C.√(12)
- D.√(3)+2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Obliczenie długości odcinka AD.
W tym zadaniu musimy skorzystać z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej. Z tego twierdzenia wynika, że między poszczególnymi bokami na siecznej oraz stycznej zajdzie następująca równość:
|DC| · |DB|=|AD|²
Podstawiając teraz dane z treści zadania do wzoru, otrzymamy:
3 · 7=|AD|²
21=|AD|²
|AD|=√(21)
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok ma zawsze dodatnią miarę, zatem zostaje nam |AD|=√(21).
Krok 2. Obliczenie odległości punktu A od prostej l.
Odległość punktu od prostej zawsze mierzymy w linii, która przechodzi przez punkt i która jest prostopadła do analizowanej prostej. W naszym przypadku odległość punktu A od prostej l jest jednocześnie długością odcinka AC. A skąd wiemy, że odcinek AC jest prostopadły do prostej l? Z treści zadania wynika, że odcinek AB jest średnicą okręgu, a to oznacza, że trójkąt ABC jest klasycznym trójkątem wpisanym w okrąg, który oparty jest na średnicy - takie trójkąty zawsze są prostokątne.
Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD, moglibyśmy zapisać, że:
|AC|²+3²=(√(21))²
|AC|²+9=21
|AC|²=12
|AC|=√(12)
Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też wynika, że |AC|=√(12).
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.