W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A = (1, 7) oraz P = (3, 1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP|:|PB|=1:3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Punkt B ma współrzędne
Odpowiedzi do wyboru
- A.(9,-5)
- B.(9,-17)
- C.(7,-11)
- D.(5,-5)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:
Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że zadanie można oprzeć na obliczaniu środków odcinków. Punkt P jest środkiem odcinka AS (znamy współrzędne A oraz P, więc tak właśnie wyliczymy S), a jak już poznamy współrzędne punktu S, to ponownie skorzystamy ze wzoru na środek odcinka i obliczymy współrzędne punktu B.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu S.
Spójrzmy najpierw na odcinek AS, którego środkiem będzie punkt P. W zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, czyli:
P=((x_A+x_S)/2;(y_A+y_S)/2)
Znamy współrzędne P środka odcinka oraz znamy też współrzędne punktu A, więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu S. Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędne x_S oraz y_S, zatem:
3=(1+x_S)/2 x_S=5
1=(7+y_S)/2 y_S=-5
To oznacza, że S=(5;-5).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu B.
Teraz spoglądamy na odcinek AB, którego środkiem jest nasz wyznaczony przed chwilą punkt S. Analogicznie więc do poprzedniego kroku, korzystamy ze wzoru na środek odcinka i wyznaczamy w ten sposób współrzędne punktu B:
5=(1+x_B)/2 x_B=9
-5=(7+y_B)/2 y_B=-17
To oznacza, że B=(9;-17).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.