Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. a) Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. Objętość tego ostrosłupa jest równa ............ b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy A. √(2) B. √(6)/3 C. √(2)/2 D. √(3)/3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) 144 b) A
a) Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jest to ostrosłup, którego jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli ta krawędź boczna o długości 12 jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa.
Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Ustaliliśmy już, że w podstawie mamy kwadrat o boku a=6, natomiast wysokość tego ostrosłupa to H=12. W takim razie:
V=1/3 P_p · H=1/3 · 6² · 12=1/3 · 36 · 12=144
b) Krok 1. Ustalenie najdłuższej krawędzi bocznej.
Najdłuższa krawędź boczna to ta, która łączy wierzchołek ostrosłupa z najdalszym wierzchołkiem podstawy. Skoro krawędź prostopadła ma długość 12, to najdłuższa krawędź biegnie do przeciwległego wierzchołka kwadratu - przez przekątną podstawy.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Przekątna kwadratu o boku 6 ma długość d=6√(2).
Krok 3. Obliczenie tangensa nachylenia krawędzi do płaszczyzny.
Tangens odpowiada stosunkowi przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym:
tgα=H/d=12/(6√(2))=12√(2)/(6 · 2)=12√(2)/12=√(2)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.