Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Skoro a oraz b są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
(a+b)(1/a+1/b) ≥ 4 1+a/b+b/a+1 ≥ 4 a/b+b/a ≥ 2 / · b a+b²/a ≥ 2b / · a a²+b² ≥ 2ab a²-2ab+b² ≥ 0 (a-b)² ≥ 0
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.