W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z informacjami z treści zadania możemy oznaczyć sobie długości odcinków CE oraz EB jako x, natomiast odcinek AD jako x+x=2x. Dodatkowo oznaczmy też odcinek AB jako a oraz odcinek BF jako b.
Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zapisanie równania.
Trójkąty BFE oraz AFD są trójkątami podobnymi. Możemy być tego pewni, gdyż proste AD oraz BE są prostymi równoległymi (bo jest to równoległobok). Skoro tak, to możemy zapisać stosunki długości poszczególnych boków tworzą następujące równanie:
b/x=(a+b)/(2x)
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie, które musimy teraz rozwiązać. Najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż. Otrzymamy wtedy:
b · 2x=(a+b) · x 2bx=ax+bx /-bx bx=ax /:x a=b
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się udowodnić, że odcinek a (czyli AB), jest równy odcinkowi b (czyli BF). To oznacza, że punkt B jest środkiem odcinka AF, bo tylko środek odcinka może podzielić go na dwie równe części. Dowodzenie możemy uznać więc za skończone.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.