W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Narysujmy sobie nasz ostrosłup i wprowadźmy proste oznaczenia, pamiętając o tym że skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny:

Musimy obliczyć cosinus kąta α, czyli:

cosα=|OC|/|SC|

To oznacza, że będziemy chcieli poznać długości odcinków OC oraz SC. Długości jako takich na pewno nie poznamy, bo w zadaniu nie występują konkretne liczby, dlatego będziemy musieli operować na wyrażeniach algebraicznych i powiązaniach poszczególnych długości z długością a. Na tym tak naprawdę polegać będzie cała trudność tego zadania.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka OC.

Odcinek OC stanowi 2/3 długości wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności ostrosłupów prawidłowych trójkątnych). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:

|OC|=2/3 · h |OC|=2/3 · a√(3)/2 |OC|=2/3 · a√(3)/2 |OC|=2a√(3)/6 |OC|=a√(3)/3

Krok 3. Obliczenie długości odcinka DS.

Odcinek DS (wysokość ściany bocznej oznaczona jako h) przyda nam się do obliczenia długości krawędzi bocznej, czyli boku SC. Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy. W związku z tym:

P_b=2P_p P_b=2 · a²√(3)/4 P_b=a²√(3)/2

Pole powierzchni bocznej to pole trzech trójkątów równoramiennych, każdy o boku a oraz wysokości h, zatem:

P_b=3 · 1/2 · a · h P_b=3/2 · a · h

Przyrównując teraz do siebie te dwa wyznaczone równania otrzymamy:

3/2 · a · h=a²√(3)/2 / · 2 3a · h=a²√(3) /:3a h=a²√(3)/(3a) h=a√(3)/3

W związku z tym: |DS|=a√(3)/3.

Krok 4. Obliczenie długości odcinka SC.

Spójrzmy na trójkąt DCS. Długość kluczowego odcinka SC (oznaczonego na rysunku jako b) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Odcinek DC będący dolną przyprostokątną tego trójkąta ma długość 1/2 a (bo wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na dwie równe części). Odcinek DS który jest drugą przyprostokątną wyliczyliśmy przed chwilą i wiemy że DS=a√(3)/3, zatem:

|DC|²+|DS|²=|SC|² (1/2 a)²+(a√(3)/3)²=b² 1/4 a²+a² · 3/9=b² a²/4+a²/3=b² 3a²/12+4a²/12=b² 7a²/12=b² b=√(7a²/12) b=√(7a²)/√(12) b=√(7)a/(√(4 · 3)) b=√(7)a/(2√(3)) b=√(7)a · √(3)/(2√(3) · √(3)) b=√(21)a/(2 · 3) b=√(21)a/6

To oznacza, że krawędź boczna ma długość |SC|=√(21)a/6.

Krok 5. Obliczenie wartości cosα.

Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:

cosα=|OC|/|SC| cosα=a√(3)/3/(√(21)a/6) cosα=a√(3)/3:√(21)a/6 cosα=a√(3)/3 · 6/√(21)a cosα=6a√(3)/(3√(21)a) cosα=2a√(3)/√(21)a cosα=2a√(3)/(√(7) · √(3) · a) cosα=2/√(7) cosα=2 · √(7)/(√(7) · √(7)) cosα=2√(7)/7