Ze zbioru A = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B = {-1, 0, 1, 2} losujemy liczbę b. Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x) = ax + b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

To zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby, ponieważ istnieje tutaj bardzo szybka droga do poznania prawidłowej odpowiedzi.

I sposób - obliczając liczbę zdarzeń elementarnych i sprzyjających.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.

Z pierwszego zbioru możemy wylosować jedną z sześciu liczb. Z drugiego zbioru możemy wylosować jedną z czterech liczb. W związku zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:

|Ω|=6 · 4=24

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.

Musimy teraz ustalić jaka para liczb będzie tworzyć zdarzenie sprzyjające, zatem musimy ustalić które liczby ze zbioru A oraz B pasują nam do warunków zadania. Aby funkcja była rosnąca, to współczynnik kierunkowy a musi być dodatni. To oznacza, że z pierwszego zbioru interesują nas tylko liczby 1,2,3.

Teraz musimy ustalić jakie liczby interesują nas ze zbioru B, a wpływ na to mieć będzie informacja mówiąca o tym, iż funkcja ma mieć dodatnie miejsca zerowe. Co to oznacza, że miejsca zerowe są dodatnie? Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. x=-2, to znaczy że miejsce zerowe jest ujemne (taki przypadek nas nie interesuje). Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. x=3 to wtedy miejsce zerowe jest dodatnie. Jak więc ustalić kiedy funkcja osiąga dodatnie miejsce zerowe?

Aby funkcja liniowa (która jest rosnąca) miała dodatnie miejsce zerowe dodatnie, to musi przecinać oś igreków w ujemnej wartości (czyli pod osią iksów), nie ma innej możliwości. O miejscu przecięcia się z osią igreków informuje nas współczynnik b i już po tej prostej analizie wiemy, że musi on być ujemny. To by oznaczało, że ze zbioru B interesowałaby nas jedynie wartość -1.

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej własności, to możemy podejść do zagadnienia z innej strony. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji (jakiekolwiek) to musimy przyrównać wzór funkcji do zera. Zatem:

ax+b=0 ax=-b x=-b/a

My musimy mieć to miejsce zerowe większe od zera, czyli interesuje nas sytuacja w której:

-b/a > 0

Skoro w naszym przypadku a jest dodatnie, to aby wyrażenie -b/a było większe od zera, to w liczniku musimy mieć także liczbę dodatnią. To oznacza, że b musi być liczbą ujemną. Z podanych liczb w zbiorze B tylko liczba -1 spełnia ten warunek.

Skoro więc ze zbioru A interesują nas liczby 1,2,3, a ze zbioru B interesuje nas jedynie -1, to zdarzeniami sprzyjającymi będą:

(1;-1), (2;-1), (3;-1)

Są to więc tylko trzy pary liczb, zatem |A|=3.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.

P(A)=|A|/|Ω|=3/24=1/8

II sposób - dostrzegając własności wykresu funkcji liniowej.

Moglibyśmy dostrzec, że aby funkcja była rosnąca i miała dodatnie miejsce zerowe, musi ona wyglądać mniej więcej w ten sposób:

Funkcja ma być rosnąca, czyli współczynnik a musi być dodatni. Z sześciu podanych liczb tylko trzy są dodatnie, więc prawdopodobieństwo wylosowania dodatniego współczynnika a jest równe 1/2. Z analizy wykresu wynika też, że współczynnik b musi być ujemny, bo prosta przetnie nam oś OY dla ujemnej wartości y. Tylko jedna z czterech proponowanych liczb jest ujemna, więc szanse wylosowania ujemnej liczby wyniosą 1/4. Prawdopodobieństwo wylosowania więc jednocześnie odpowiedniej liczby a oraz b będzie równe iloczynowi wyznaczonych przed chwilą prawdopodobieństw:

p=1/2 · 1/4=1/8