Zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami - baza maturalna

Funkcja liniowa to jeden z najbardziej opłacalnych działów na maturze z matematyki. Zadania są przewidywalne, wzory krótkie, a punkty niemal pewne, jeśli tylko ogarniesz kilka schematów. W tej bazie zbieramy zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami krok po kroku i tłumaczymy dokładnie te typy, które wracają co roku.

Wszystkie zadania pochodzą z prawdziwych arkuszy CKE. Możesz je rozwiązywać w dziale funkcja liniowa albo losowo przez losowe zadanie. Jeśli wolisz uczyć się na pełnych rozwiązaniach, zobacz też jak korzystać z zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.

Co musisz umieć z funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać kierunkową $y = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny. To wszystko kręci się wokół kilku faktów:

Pełną teorię z wykresami masz we wpisie funkcja liniowa na maturze - wzory, wykres, zadania.

Typy zadań CKE z funkcji liniowej

W arkuszach CKE funkcja liniowa pojawia się głównie w kilku wariantach: badanie monotoniczności z parametrem, wyznaczanie wzoru prostej, miejsce zerowe, wzajemne położenie prostych oraz kąt nachylenia. Poniżej rozwiązane przykłady każdego typu, a pod nimi linki do konkretnych zadań z arkuszy.

Przykład 1 - monotoniczność z parametrem

Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (m-1)x + 6$ jest rosnąca?

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni, czyli $m - 1 > 0$. Stąd $m > 1$. To klasyk: całe zadanie sprowadza się do jednej nierówności na współczynnik przy $x$.

Przykład 2 - wzór prostej przez dwa punkty

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A=(-1, 2)$ i $B=(3, 10)$.

Najpierw współczynnik kierunkowy: $a = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2$. Teraz wyraz wolny - podstawiamy współrzędne punktu $A$: $2 = 2 \cdot (-1) + b$, więc $b = 4$. Wzór to $y = 2x + 4$. Ten schemat rozwijamy w tekście jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty.

Przykład 3 - miejsce zerowe

Oblicz miejsce zerowe funkcji $f(x) = 3x - 9$.

Miejsce zerowe to $x$, dla którego $f(x) = 0$. Rozwiązujemy $3x - 9 = 0$, czyli $x = 3$. Można też od razu ze wzoru $x_0 = -\frac{b}{a} = -\frac{-9}{3} = 3$.

Przykład 4 - proste prostopadłe

Prosta ma równanie $y = 2x + 1$. Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta do niej prostopadła?

Z warunku prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$ mamy $2 \cdot a_2 = -1$, więc $a_2 = -\frac{1}{2}$. Więcej takich zadań znajdziesz w proste równoległe i prostopadłe - warunki, wzory, zadania.

Przykład 5 - kąt nachylenia prostej

Prosta ma współczynnik kierunkowy $a = \sqrt{3}$. Jaki kąt tworzy z osią OX?

Korzystamy z $a = \tan\alpha$, czyli $\tan\alpha = \sqrt{3}$. Stąd $\alpha = 60^\circ$. Temat kąta nachylenia rozkładamy na czynniki w kąt nachylenia prostej do osi OX - wzór, zadania.

Zadania CKE z funkcji liniowej do rozwiązania

Poniżej wybrane zadania z prawdziwych arkuszy. Kliknij, żeby zobaczyć pełne rozwiązanie krok po kroku:

• •Zadanie z arkusza Matura maj 2010 - podstawy funkcji liniowej.
• •Zadanie z arkusza Matura maj 2011 - wyznaczanie wzoru prostej.
• •Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2018 - własności współczynników.
• •Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2019 - wzajemne położenie prostych.
• •Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2024 - funkcja liniowa z parametrem.
• •Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2025 - najnowszy typ z arkusza.

Cały dział z kompletem zadań i rozwiązań masz na stronie funkcja liniowa, a pełne arkusze z danych lat w sekcji arkusze CKE.

Typowe pułapki

• •Mylenie warunku prostopadłości z równoległością. Równoległe: $a_1 = a_2$. Prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$.
• •Zapominanie o założeniu $a \neq 0$ przy miejscu zerowym. Gdy $a = 0$, funkcja jest stała i nie ma miejsca zerowego (chyba że jest tożsamościowo zerem).
• •Błąd znaku przy wyznaczaniu $b$. Zawsze podstaw współrzędne punktu z powrotem do wzoru i sprawdź.
• •Przy kącie nachylenia pamiętaj, że dla $a < 0$ kąt jest rozwarty (między 90 a 180 stopni).

Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Rób każdy typ osobno, aż zaczniesz go rozpoznawać w sekundę. Najpierw monotoniczność z parametrem, potem wzór prostej, miejsce zerowe, położenie prostych i kąt nachylenia. Gdy każdy z tych typów masz z głowy, przejdź na losowe zadania, żeby ćwiczyć rozpoznawanie. Do momentów, w których utkniesz, użyj solvera ze zdjęcia. Metodę nauki na pełnych rozwiązaniach opisaliśmy w zadaniach maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.

Przykład 6 - proste równoległe

Dana jest prosta $y = -3x + 5$. Wyznacz wzór prostej równoległej do niej, przechodzącej przez punkt $P = (2, 1)$. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać $y = -3x + b$. Podstawiamy współrzędne punktu $P$: $1 = -3 \cdot 2 + b$, stąd $b = 7$. Wzór to $y = -3x + 7$.

Przykład 7 - odczyt wzoru z wykresu

Z wykresu odczytujesz, że prosta przecina oś OY w punkcie $(0, -2)$ i przechodzi przez $(2, 2)$. Wyznacz jej wzór. Wyraz wolny czytasz wprost z przecięcia z osią OY: $b = -2$. Współczynnik kierunkowy: $a = \frac{2 - (-2)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$. Wzór to $y = 2x - 2$. Odczytywanie własności z wykresu ćwiczysz też w dziale funkcje.

Przykład 8 - zadanie z treścią (model liniowy)

Wypożyczalnia bierze 20 zł opłaty stałej plus 8 zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin i policz koszt za 5 godzin. Koszt to $k(t) = 8t + 20$, gdzie $t$ to liczba godzin. Dla $t = 5$: $k(5) = 8 \cdot 5 + 20 = 60$ zł. Funkcja liniowa świetnie modeluje takie sytuacje: opłata stała to wyraz wolny $b$, a stawka za godzinę to współczynnik kierunkowy $a$.

Przykład 9 - punkt przecięcia dwóch prostych

Znajdź punkt wspólny prostych $y = 2x - 1$ oraz $y = -x + 5$. Przyrównujemy wzory: $2x - 1 = -x + 5$, stąd $3x = 6$, czyli $x = 2$. Wtedy $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Punkt przecięcia to $(2, 3)$. To pomost do układów równań i geometrii analitycznej.

Przykład 10 - parametr z warunku przechodzenia przez punkt

Dla jakiej wartości $m$ wykres funkcji $f(x) = mx - 4$ przechodzi przez punkt $A = (2, 2)$? Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru: $2 = m \cdot 2 - 4$. Stąd $2m = 6$, czyli $m = 3$. Zawsze, gdy prosta przechodzi przez punkt, po prostu podstaw jego współrzędne do wzoru i rozwiąż równanie na parametr.

Ile zadań z funkcji liniowej jest w bazie

W bazie CKE dział funkcja liniowa to kilkadziesiąt zadań z arkuszy z lat 2010-2025 oraz zbiorów treningowych CKE. Rozkład typów wygląda mniej więcej tak:

Wniosek jest prosty: większość zadań z tego działu to pewne, łatwe punkty. Dlatego funkcja liniowa powinna być jednym z pierwszych działów, które domykasz przygotowując się do matury.

Częsty błąd z arkuszy CKE

W zadaniach zamkniętych CKE ulubioną pułapką jest zamiana warunków dla prostych. Uczeń pod presją czasu zaznacza równoległość zamiast prostopadłości. Zapamiętaj obraz: równoległe to te same schody (równe $a$), prostopadłe to obrót o dziewięćdziesiąt stopni (iloczyn $a$ równy minus jeden). Druga pułapka to znak przy odczycie $a$ z wykresu - gdy prosta opada, współczynnik jest ujemny.

Jak funkcja liniowa łączy się z innymi działami

Ten dział to fundament pod geometrię analityczną, bo równanie prostej, odległości i wzajemne położenie prostych bazują dokładnie na tych samych wzorach. Współczynnik kierunkowy wraca przy stycznych i przy kącie nachylenia. Dlatego dobrze opanowana funkcja liniowa ułatwia potem całą geometrię na płaszczyźnie. Jeśli chcesz uczyć się systemowo, po tym dziale przejdź do zadań CKE z geometrii analitycznej.

Od czego zacząć naukę tego działu

Jeśli funkcja liniowa jest dla ciebie świeża, zacznij od teorii w przewodniku o funkcji liniowej, potem zrób po dwa zadania każdego typu z tej bazy, a na końcu rozwiąż pięć losowych zadań przez losowe zadanie bez podpowiedzi. Gdy pięć z pięciu pójdzie samodzielnie, dział masz opanowany i możesz iść dalej.

Najczęstsze pytania o funkcję liniową

Czy funkcja liniowa jest łatwa na maturze? Tak, to jeden z najprostszych działów - większość zadań opiera się na kilku wzorach i daje pewne punkty. Warto opanować go jako jeden z pierwszych. Ile zadań z tego działu wystarczy przerobić? Zrób po dwa, trzy zadania każdego typu z tej bazy, a potem sprawdź się na losowych zestawach. Gdzie znaleźć więcej zadań otwartych? W arkuszach CKE i przez losowe zadanie, a metodę nauki na rozwiązaniach opisaliśmy w zadaniach maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.

Podsumowanie - co musisz umieć

Opanuj te pięć rzeczy, a funkcja liniowa będzie na maturze pewnym źródłem punktów. Zacznij od działu funkcja liniowa.

Następny krok Losuj kolejne zadanie