Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te proste są prostopadłe albo równoległe.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że proste są prostopadłe albo równoległe
Oznaczmy współczynniki kierunkowe dwóch prostych jako a i b.
Zapisujemy warunek z treści zadania: a - b = 1/a - 1/b
Krok 1: Przekształcenie prawej strony
Sprowadzamy prawo stronę do wspólnego mianownika: a - b = (b - a)/ab
Krok 2: Wyłączenie czynnika
Zauważamy, że b - a = -(a - b): a - b = -(a - b)/ab
Krok 3: Przeniesiemy wszystko na lewą stronę
a - b + (a - b)/ab = 0
Wyłączamy wspólny czynnik (a - b): (a - b)(1 + 1/ab) = 0
Możemy też zapisać: (a - b) · (ab + 1)/ab = 0
Krok 4: Analiza iloczynu
Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.
Przypadek 1: a - b = 0
Wtedy a = b, co oznacza, że proste są równoległe (mają takie same współczynniki kierunkowe).
Przypadek 2: (ab + 1)/ab = 0
To zachodzi, gdy ab + 1 = 0, czyli: ab = -1
Warunek ab = -1 to warunek prostopadłości dwóch prostych o współczynnikach kierunkowych a i b.
Zatem proste są prostopadłe.
---
Wniosek: Jeśli różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników, to proste te są albo równoległe (a = b), albo prostopadłe (ab = -1).
Funkcja liniowa: Współczynnik kierunkowy, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe oraz zadania o wykresie i miejscu zerowym.