Funkcja liniowa

Funkcja liniowa z parametrem - kiedy rosnąca, malejąca, stała (zadania maturalne)

Q: Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni, a malejąca, gdy a jest ujemny. Wyraz wolny b nie wpływa na monotoniczność, decyduje tylko o punkcie przecięcia wykresu z osią OY.

Q: Co się dzieje z funkcją liniową, gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero?

Gdy a = 0, funkcja przyjmuje postać f(x) = b i jest funkcją stałą. Jej wykres to prosta pozioma przechodząca przez punkt (0, b). Funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca, a miejsca zerowe ma tylko wtedy, gdy b = 0.

Q: Jak sprawdzić, dla jakiej wartości parametru wykres przechodzi przez dany punkt?

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: za x pierwszą współrzędną, za wartość funkcji drugą. Otrzymasz równanie z jedną niewiadomą m, które rozwiązujesz standardowo. Na końcu podstaw wynik z powrotem i sprawdź, czy punkt faktycznie spełnia równanie.

Q: Jaki jest warunek na to, żeby dwie proste były równoległe?

Proste o równaniach kierunkowych są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Jeśli dodatkowo mają równe wyrazy wolne, to się pokrywają. Warunkiem prostopadłości jest to, żeby iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych wynosił -1.

Q: Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego, gdy jest stała i różna od zera, czyli gdy a = 0 i b jest różne od zera. Dla a różnego od zera funkcja ma zawsze dokładnie jedno miejsce zerowe x = -b/a, a dla a = 0 i b = 0 miejsc zerowych jest nieskończenie wiele.

Q: Czy zmienna x i parametr m to to samo?

Nie. Zmienna x to argument funkcji, który przebiega wszystkie liczby rzeczywiste. Parametr m to konkretna, choć nieznana liczba, od której zależy wzór funkcji. W zadaniu z parametrem szukasz takich wartości m, dla których funkcja ma żądaną własność.

Q: Jak często funkcja liniowa pojawia się na maturze?

Funkcja liniowa jest obecna praktycznie w każdym arkuszu maturalnym, samodzielnie albo w zadaniach z geometrii analitycznej. W naszej bazie zadań CKE kategoria funkcja liniowa liczy 74 zadania, a warianty z parametrem to klasyka części zamkniętej arkusza.

Zadania z funkcją liniową z parametrem m to klasyka zadań zamkniętych CKE. Zobacz warunki na monotoniczność, przechodzenie wykresu przez punkt, miejsca zerowe i proste równoległe oraz sześć rozwiązanych przykładów.

4 sierpnia 2026·7 min czytania

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ jest rosnąca, gdy $a > 0$ , malejąca, gdy $a < 0$ , i stała, gdy $a = 0$ . W zadaniach z parametrem współczynniki $a$ lub $b$ zależą od litery $m$ : zapisujesz odpowiedni warunek (nierówność albo równanie) dla wyrażenia z parametrem i rozwiązujesz go względem $m$ . Cała trudność polega na przetłumaczeniu treści zadania na jeden poprawny warunek.

O co chodzi w zadaniach z funkcją liniową z parametrem

W zwykłym zadaniu dostajesz konkretną funkcję, na przykład $f(x) = 2x - 3$ , i coś o niej liczysz. W zadaniu z parametrem zamiast konkretnej liczby przy $x$ albo w wyrazie wolnym stoi wyrażenie z literą $m$ , na przykład $f(x) = (2m - 6)x + 5$ . Pytanie brzmi wtedy: dla jakich wartości $m$ funkcja ma określoną własność, czyli jest rosnąca, przechodzi przez dany punkt albo ma zadane miejsce zerowe.

Schemat rozwiązania jest zawsze taki sam:

Krok 1: rozpoznaj, czym jest a i b. W zapisie $f(x) = (2m - 6)x + 5$ współczynnik kierunkowy to $a = 2m - 6$ , a wyraz wolny to $b = 5$ .

Krok 2: przetłumacz własność z treści zadania na warunek. Na przykład hasło „funkcja jest rosnąca" oznacza $a > 0$ .

Krok 3: rozwiąż warunek względem m. Dostajesz zwykłe równanie albo nierówność liniową z niewiadomą $m$ .

Jeśli podstawy masz jeszcze niepoukładane, zajrzyj najpierw do przewodnika po funkcji liniowej, a potem wróć do parametrów.

Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca, a kiedy stała

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy $a$ : dla $a > 0$ funkcja jest rosnąca, dla $a < 0$ malejąca, a dla $a = 0$ stała. Wyraz wolny $b$ nie ma na to żadnego wpływu, przesuwa tylko wykres w górę lub w dół.

Tabela, którą warto mieć w głowie:

Warunek	Własność funkcji	Wykres
$a > 0$	rosnąca	prosta idzie w górę
$a < 0$	malejąca	prosta idzie w dół
$a = 0$	stała	prosta pozioma $y = b$

Współczynnik $a$ odpowiada też za kąt nachylenia prostej do osi OX, ale w zadaniach z parametrem prawie zawsze wystarczy sam jego znak.

Przykład 1: dla jakiej wartości m funkcja jest rosnąca

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (2m - 6)x + 5$ jest rosnąca?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
wskaż współczynnik kierunkowy
$a = 2m - 6$ .
Krok 2
zapisz warunek na funkcję rosnącą
$a > 0$ , czyli $2m - 6 > 0$ .
Krok 3
rozwiąż nierówność
$2m - 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2m > 6 \quad \Rightarrow \quad m > 3$
Funkcja jest rosnąca dla $m > 3$ . Analogicznie: malejąca dla $m < 3$ , a stała dla $m = 3$ , bo wtedy $f(x) = 5$ dla każdego $x$ .

Przykład 2: dla jakiego m wykres przechodzi przez dany punkt

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dla jakiej wartości $m$ wykres funkcji $f(x) = (m + 1)x - 4$ przechodzi przez punkt $P = (2, 6)$ ?

Jeśli punkt leży na wykresie funkcji, to jego współrzędne spełniają równanie funkcji. Podstawiasz $x = 2$ i $f(x) = 6$ , a potem rozwiązujesz równanie z niewiadomą $m$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
podstaw współrzędne punktu
$6 = (m + 1) \cdot 2 - 4$
Krok 2
uprość równanie
$6 = 2m + 2 - 4 \quad \Rightarrow \quad 6 = 2m - 2$
Krok 3
rozwiąż
$2m = 8 \quad \Rightarrow \quad m = 4$
Sprawdzenie: dla $m = 4$ funkcja to $f(x) = 5x - 4$ , a $f(2) = 10 - 4 = 6$ . Punkt $P$ faktycznie leży na wykresie.

Przykład 3: miejsce zerowe z parametrem

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dla jakiej wartości $m$ miejscem zerowym funkcji $f(x) = 3x + m - 5$ jest liczba $2$ ?

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Podstawiasz więc $x = 2$ i przyrównujesz wynik do zera.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
zapisz warunek miejsca zerowego
$f(2) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 2 + m - 5 = 0$
Krok 2
uprość
$6 + m - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad m + 1 = 0$
Krok 3
rozwiąż
$m = -1$ .
Dla $m = -1$ funkcja to $f(x) = 3x - 6$ i rzeczywiście $f(2) = 0$ .

Przykład 4: proste równoległe i prostopadłe z parametrem

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dane są proste $y = (2m - 1)x + 3$ oraz $y = 5x - 2$ . Dla jakiej wartości $m$ proste są: a) równoległe, b) prostopadłe?

Warunki równoległości i prostopadłości prostych: proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe ( $a_1 = a_2$ ), a prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$ .

Podpunkt a) równoległość:

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
zapisz warunek
$2m - 1 = 5$ .
Krok 2
rozwiąż
$2m = 6$ , czyli $m = 3$ . Wyrazy wolne są różne ( $3 \neq -2$ ), więc proste są równoległe i różne, nie pokrywają się.
Podpunkt b) prostopadłość:
Krok 1
zapisz warunek
$(2m - 1) \cdot 5 = -1$ .
Krok 2
rozwiąż
$2m - 1 = -\frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad 2m = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad m = \frac{2}{5}$
Krok 3
kontrola
Dla $m = \frac{2}{5}$ pierwsza prosta ma współczynnik $2 \cdot \frac{2}{5} - 1 = -\frac{1}{5}$ , a $-\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$ . Warunek prostopadłości jest spełniony.

Przykład 5: kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dla jakiej wartości $m$ funkcja $f(x) = (m - 2)x + 7$ nie ma miejsca zerowego?

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko w jednej sytuacji: gdy jest stała i różna od zera. Prosta pozioma $y = 7$ nigdy nie przetnie osi $OX$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
warunek na funkcję stałą
$a = 0$ , czyli $m - 2 = 0$ , więc $m = 2$ .
Krok 2
sprawdź wyraz wolny
Dla $m = 2$ funkcja to $f(x) = 7$ , a $7 \neq 0$ , więc funkcja rzeczywiście nie ma miejsca zerowego.
Krok 3
wniosek
Funkcja nie ma miejsca zerowego dla $m = 2$ . Dla każdego $m \neq 2$ funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe, bo jest rosnąca albo malejąca.
Zapamiętaj trzy przypadki liczby miejsc zerowych funkcji liniowej: dokładnie jedno ( $a \neq 0$ ), żadnego ( $a = 0$ i $b \neq 0$ ), nieskończenie wiele ( $a = 0$ i $b = 0$ , czyli $f(x) = 0$ ).

Przykład 6: przez które ćwiartki przechodzi wykres

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dla jakich wartości $m$ wykres funkcji $f(x) = (4 - 2m)x + m - 1$ przechodzi przez ćwiartki I, II i IV układu współrzędnych?

Prosta przechodzi przez ćwiartki I, II i IV dokładnie wtedy, gdy jest malejąca i przecina oś $OY$ powyżej zera: $a < 0$ i $b > 0$ . Najłatwiej zobaczyć to na szkicu: prosta malejąca wchodzi z lewej strony u góry (ćwiartka II), przecina oś $OY$ nad zerem, przechodzi przez ćwiartkę I i ucieka w dół do ćwiartki IV.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
warunek na a
$4 - 2m < 0 \quad \Rightarrow \quad -2m < -4 \quad \Rightarrow \quad m > 2$
Uwaga
dzielimy przez $-2$ , więc odwracamy znak nierówności.
Krok 2
warunek na b
$m - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad m > 1$
Krok 3
część wspólna warunków
Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie: $m > 2$ i $m > 1$ , czyli ostatecznie $m > 2$ .

Przykład 7: przecięcie z osią OY, czyli parametr w wyrazie wolnym

0/7

Funkcja liniowa

Zadanie: dla jakich wartości $m$ wykres funkcji $f(x) = 2x + m^2 - 9$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -5)$ ?

Wykres funkcji liniowej przecina oś $OY$ zawsze w punkcie $(0, b)$ , bo dla $x = 0$ zostaje sam wyraz wolny. Tym razem parametr siedzi w $b$ , a nie w $a$ , więc warunek układasz dla wyrazu wolnego.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
zapisz warunek na punkt przecięcia z osią OY
$f(0) = m^2 - 9 = -5$
Krok 2
rozwiąż równanie
$m^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad m = 2 \quad \text{lub} \quad m = -2$
Krok 3
interpretacja
Warunek spełniają dwie wartości parametru. To częsta sytuacja, gdy $m$ występuje w kwadracie: zawsze sprawdź, czy równanie nie ma dwóch rozwiązań, i podaj oba. Dla $m = 2$ i dla $m = -2$ funkcja to $f(x) = 2x - 5$ , więc oba wyniki są poprawne.

Typowe pułapki w zadaniach z parametrem

•Nie odwracasz znaku nierówności. Przy dzieleniu lub mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną znak się odwraca. To najczęstszy błąd rachunkowy w tych zadaniach (patrz przykład 6).
•Mylisz parametr ze zmienną. $x$ to zmienna funkcji, $m$ to liczba, której szukasz. Warunek układasz dla $m$ , a $x$ albo znika po podstawieniu konkretnego argumentu, albo w ogóle nie występuje w warunku.
•Piszesz nierówność nieostrą zamiast ostrej. Funkcja malejąca wymaga $a < 0$ . Dla $a = 0$ funkcja jest stała, a stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca.
•Zapominasz o drugim warunku przy braku miejsc zerowych. Samo $a = 0$ nie wystarczy. Jeśli dodatkowo $b = 0$ , funkcja $f(x) = 0$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
•Przy równoległości nie sprawdzasz wyrazów wolnych. Gdy $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$ , proste się pokrywają. W zadaniu otwartym warto dopisać jedno zdanie kontroli.

Najczęstsze pytania

Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni, a malejąca, gdy a jest ujemny. Wyraz wolny b nie wpływa na monotoniczność, decyduje tylko o punkcie przecięcia wykresu z osią OY.

Co się dzieje z funkcją liniową, gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero?

Gdy a = 0, funkcja przyjmuje postać f(x) = b i jest funkcją stałą. Jej wykres to prosta pozioma przechodząca przez punkt (0, b). Funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca, a miejsca zerowe ma tylko wtedy, gdy b = 0.

Jak sprawdzić, dla jakiej wartości parametru wykres przechodzi przez dany punkt?

Podstaw współrzędne punktu do wzoru funkcji: za x pierwszą współrzędną, za wartość funkcji drugą. Otrzymasz równanie z jedną niewiadomą m, które rozwiązujesz standardowo. Na końcu podstaw wynik z powrotem i sprawdź, czy punkt faktycznie spełnia równanie.

Jaki jest warunek na to, żeby dwie proste były równoległe?

Proste o równaniach kierunkowych są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Jeśli dodatkowo mają równe wyrazy wolne, to się pokrywają. Warunkiem prostopadłości jest to, żeby iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych wynosił -1.

Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego, gdy jest stała i różna od zera, czyli gdy a = 0 i b jest różne od zera. Dla a różnego od zera funkcja ma zawsze dokładnie jedno miejsce zerowe x = -b/a, a dla a = 0 i b = 0 miejsc zerowych jest nieskończenie wiele.

Czy zmienna x i parametr m to to samo?

Nie. Zmienna x to argument funkcji, który przebiega wszystkie liczby rzeczywiste. Parametr m to konkretna, choć nieznana liczba, od której zależy wzór funkcji. W zadaniu z parametrem szukasz takich wartości m, dla których funkcja ma żądaną własność.

Jak często funkcja liniowa pojawia się na maturze?

Funkcja liniowa jest obecna praktycznie w każdym arkuszu maturalnym, samodzielnie albo w zadaniach z geometrii analitycznej. W naszej bazie zadań CKE kategoria funkcja liniowa liczy 74 zadania, a warianty z parametrem to klasyka części zamkniętej arkusza.

Checklista: co musisz umieć z funkcji liniowej z parametrem

Wskazać współczynnik kierunkowy $a$ i wyraz wolny $b$ w funkcji z parametrem.
Zapisać warunki monotoniczności: $a > 0$ (rosnąca), $a < 0$ (malejąca), $a = 0$ (stała).
Podstawić współrzędne punktu do wzoru funkcji i rozwiązać równanie względem $m$ .
Ułożyć warunek na miejsce zerowe: $f(x_0) = 0$ .
Stosować warunki równoległości ( $a_1 = a_2$ ) i prostopadłości ( $a_1 \cdot a_2 = -1$ ).
Pamiętać o odwracaniu znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną.

Gdy przećwiczysz schematy z tego artykułu, przejdź do bazy zadań CKE z funkcji liniowej i rozwiąż kilka zadań samodzielnie w dziale funkcja liniowa. Analogiczne zadania z parametrem, tylko o poziom trudniejsze, znajdziesz w artykule o funkcji kwadratowej z parametrem. To naturalny następny krok po opanowaniu wersji liniowej.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Funkcja liniowa

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Strategia

Funkcja liniowa z parametrem - kiedy rosnąca, malejąca, stała (zadania maturalne)

O co chodzi w zadaniach z funkcją liniową z parametrem

Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca, a kiedy stała

Przykład 1: dla jakiej wartości m funkcja jest rosnąca

Przykład 2: dla jakiego m wykres przechodzi przez dany punkt

Przykład 3: miejsce zerowe z parametrem

Przykład 4: proste równoległe i prostopadłe z parametrem

Przykład 5: kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego

Przykład 6: przez które ćwiartki przechodzi wykres

Przykład 7: przecięcie z osią OY, czyli parametr w wyrazie wolnym

Typowe pułapki w zadaniach z parametrem

Najczęstsze pytania

Checklista: co musisz umieć z funkcji liniowej z parametrem

Kategoria: Funkcja liniowa

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami - baza maturalna

Kąt nachylenia prostej do osi OX - wzór, przykłady i zadania maturalne

Funkcja liniowa na maturze - wzór ogólny, wykres, miejsce zerowe i zadania