Punkty A = (2, 4), B = (0, 0), C = (4, -2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y = 1/3 x
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą BD, której równania szukamy:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu D.
Punkt D jest środkiem odcinka AC. Znając współrzędne punktu A oraz C możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu D, korzystając ze wzoru:
D=((x_A+x_C)/2;(y_A+y_C)/2)
Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:
x_D=(x_A+x_C)/2 x_D=(2+4)/2 x_D=6/2 x_D=3 y_D=(y_A+y_C)/2 y_D=(4+(-2))/2 y_D=(4-2)/2 y_D=2/2 y_D=1
To oznacza, że D=(3;1).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej BD.
Skoro znamy współrzędne punktów B oraz D to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu B oraz D do postaci y=ax+b uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
(y-y_B)(x_D-x_B)-(y_D-y_B)(x-x_B)=0
Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:
0=0+b 1=3a+b b=0 1=3a+b Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że b=0, co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik b informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika b, teraz musimy wyznaczyć współczynnik a. Zrobimy to podstawiając po prostu b=0 do drugiego równania: 1=3a+b 1=3a+0 a=1/3 W związku z tym prosta BD wyraża się wzorem y=1/3 x+0, czyli po prostu y=1/3 x.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.