Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n ≥ 1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₁ = -2, r = 4 1/2
Krok 1. Ułożenie układu równań
Korzystając ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego a_n=a₁+(n-1)r możemy zapisać, że:
a₉=a₁+8r a₁+8r=34
To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:
S_n=(a₁+a_n)/2 · n S₈=(a₁+a₈)/2 · 8 110=(a₁+a₈)/2 · 8 110=(a₁+a₈) · 4 /:4 a₁+a₈=27,5 a₁+a₁+7r=27,5 2a₁+7r=27,5
To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:
a₁+8r=34 2a₁+7r=27,5 Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość a₁ z pierwszego równania: a₁=34-8r 2a₁+7r=27,5 Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: 2 · (34-8r)+7r=27,5 68-16r+7r=27,5 68-9r=27,5 -9r=-40,5 r=4,5 Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość r=4,5 możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań: a₁=34-8r a₁=34-8 · 4,5 a₁=34-36 a₁=-2 To oznacza, że a₁=-2 oraz r=4,5.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.