W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P = 30
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy:
Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej x.
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
|AB|²+|AC|²=|BC|² (2+x)²+5²=(3+x)² 4+4x+x²+25=9+6x+x² /-x² 4+4x+25=9+6x 4x+29=9+6x -2x+29=9 -2x=-20 x=10
Krok 3. Obliczenie długości boku AB.
Skoro x=10, to znaczy że:
|AB|=2+x |AB|=2+10 |AB|=12
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość 12 i wysokość 5, zatem:
P=1/2 ah P=1/2 · 12 · 5 P=6 · 5 P=30
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.