Wykaż, że jeżeli liczby a i b są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba (a+1/2 b)²-(a-1/2 b)² jest podzielna przez 4.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKESkoro a i b są kolejnymi liczbami naturalnymi, to: b = a + 1
Podstawia się b = a + 1 do wyrażenia: (a+1/2 b)²-(a-1/2 b)²
Krok 1: Stosuje się wzór skróconego mnożenia x² - y² = (x-y)(x+y)
Dla x = a+1/2 b i y = a-1/2 b:
(a+1/2 b)²-(a-1/2 b)² = [(a+1/2 b) - (a-1/2 b)] · [(a+1/2 b) + (a-1/2 b)]
Krok 2: Upraszcza się nawiasy:
= [a+1/2 b - a+1/2 b] · [a+1/2 b + a-1/2 b]
= [b] · [2a]
= 2ab
Krok 3: Podstawia się b = a + 1:
2ab = 2a(a+1) = 2a² + 2a = 2a(a+1)
Krok 4: Analizuje się podzielność przez 4:
Liczba 2a(a+1) jest iloczynem liczby 2 oraz iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych a i a+1.
Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych a i a+1 dokładnie jedna jest parzysta.
Dlatego iloczyn a(a+1) jest liczbą parzystą, czyli a(a+1) = 2k dla pewnej liczby całkowitej k.
Krok 5: Wniosek:
2a(a+1) = 2 · 2k = 4k
Zatem liczba (a+1/2 b)²-(a-1/2 b)² jest podzielna przez 4.
c.b.d.o.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.