Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej 4. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD podstawy i wierzchołek C’. Otrzymany przekrój jest trójkątem, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka C’ jest równa 12. Wysokość graniastosłupa jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.2√(35)
- B.4√(7)
- C.2√(34)
- D.8√(2)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-23.png]
Oznaczymy wysokość graniastosłupa jako H.
Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy graniastosłup w układzie współrzędnych. Podstawa ABCD ma wierzchołki: - A = (0, 0, 0) - B = (4, 0, 0) - C = (4, 4, 0) - D = (0, 4, 0)
Górna podstawa A'B'C'D': - C' = (4, 4, H)
Krok 3: Analiza przekroju
Przekrój przechodzi przez punkty B, D i C', tworząc trójkąt BDC'.
Krok 4: Obliczenie długości przekątnej podstawy
BD = √((4-0)² + (0-4)²) = √(16 + 16) = 4√(2)
Krok 5: Znajdowanie środka BD
Środek przekątnej BD: S = ((4+0)/2, (0+4)/2, 0) = (2, 2, 0)
Krok 6: Wysokość trójkąta z wierzchołka C'
Wysokość z wierzchołka C' na podstawę BD jest prostopadła do BD.
Zauważmy, że punkt C = (4, 4, 0) leży dokładnie nad środkiem S przekątnej BD, ponieważ w kwadracie przekątne przecinają się w jego środku, a C jest wierzchołkiem kwadratu.
Odległość C od prostej BD: CS = √((4-2)² + (4-2)²) = √(4 + 4) = 2√(2)
Krok 7: Wysokość z C' na BD
Wysokość z C' na BD tworzy odcinek od C' = (4, 4, H) prostopadły do prostej BD w płaszczyźnie przekroju.
Podstawa wysokości to punkt na prostej BD, który leży w płaszczyźnie przechodzącej przez C' prostopadle do BD. Ten punkt to S = (2, 2, 0).
Wysokość trójkąta: h = C'S = √((4-2)² + (4-2)² + (H-0)²) = √(4 + 4 + H²) = √(8 + H²)
Krok 8: Rozwiązanie równania
Z treści zadania wiemy, że wysokość równa się 12: √(8 + H²) = 12
Podnosimy obie strony do kwadratu: 8 + H² = 144 H² = 136 H = √(136) = √(4 · 34) = 2√(34)
Odpowiedź: C
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.