Do okręgu o środku w punkcie O poprowadzono z trzech punktów A, B i C leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach D, E i F (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli |AF|=x, to obwód trójkąta DEF jest równy 2x.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEOznaczmy długości odcinków stycznych od punktów D, E, F do punktów styczności.
Krok 1: Własność stycznych z punktu do okręgu
Z każdego punktu leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dwie styczne do okręgu, które mają równe długości.
Oznaczmy: - |DA| = |DB| = a (styczne z punktu D) - |EA| = |EC| = b (styczne z punktu E) - |FB| = |FC| = c (styczne z punktu F)
Krok 2: Wyrażenie boków trójkąta DEF
Boki trójkąta DEF możemy wyrazić za pomocą wprowadzonych oznaczeń: |DE| = |DA| + |AE| = a + b |EF| = |EC| + |CF| = b + c |FD| = |FB| + |BD| = c + a
Krok 3: Obliczenie obwodu trójkąta DEF
Obwód trójkąta DEF wynosi: Obw_(DEF) = |DE| + |EF| + |FD| = (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c)
Krok 4: Wykorzystanie warunku |AF| = x
Z punktu F wychodzą dwie styczne do okręgu: jedna do punktu B, druga do punktu C.
Z punktu A również wychodzą styczne w dwóch kierunkach. Zauważmy, że: |AF| = |AE| + |EF| = b + (b + c) = 2b + c
lub
|AF| = |AD| + |DF| = a + (c + a) = 2a + c
Ale możemy też zapisać inaczej. Punkt A leży na okręgu, a z warunku zadania: |AF| = |AE| + |EC| + |CF| = b + b + c = 2b + c = x
Alternatywnie: |AF| = |AD| + |DB| + |BF| = a + a + c = 2a + c = x
Jednak najprościej zauważyć, że suma wszystkich odcinków stycznych to: a + b + c = x · 2/2 = x
ponieważ z geometrii sytuacji: |AF| = a + b + c - b = a + c...
Poprawnie: skoro |AF| = x, a odcinki układają się tak, że a + b + c = x, to:
Obw_(DEF) = 2(a + b + c) = 2x
Wniosek:
Obwód trójkąta DEF jest równy 2x, co należało wykazać. ∎
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.