W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=36√(2)P_b=54√(2)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-34.png]
Oznaczmy: - a = 12 – długość krawędzi podstawy - h – wysokość ostrosłupa - l – długość krawędzi bocznej
## Dane z treści zadania
Z treści wiemy, że krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości: l = 3h
## Krok 2: Związek między wysokością a krawędzią boczną
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość pada do środka podstawy (środka okręgu opisanego na trójkącie równobocznym).
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a: R = a/√(3) = 12/√(3) = 12√(3)/3 = 4√(3)
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (wysokość, promień R, krawędź boczna l): l² = h² + R²
Podstawiając l = 3h i R = 4√(3): (3h)² = h² + (4√(3))² 9h² = h² + 48 8h² = 48 h² = 6 h = √(6)
Zatem: l = 3h = 3√(6)
## Krok 3: Objętość ostrosłupa
Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku a = 12): P_(podst) = a²√(3)/4 = 144√(3)/4 = 36√(3)
Objętość: V = 1/3 · P_(podst) · h = 1/3 · 36√(3) · √(6) V = 12√(3) · √(6) = 12√(18) = 12 · 3√(2) = 36√(2)
## Krok 4: Pole powierzchni bocznej
Pole powierzchni bocznej to suma pól trzech ścian bocznych (trójkątów równoramiennych).
Wysokość ściany bocznej h_b liczymy z twierdzenia Pitagorasa (w trójkącie: wysokość ściany, połowa krawędzi podstawy, krawędź boczna): h_b² = l² - (a/2)² = (3√(6))² - 6² = 54 - 36 = 18 h_b = √(18) = 3√(2)
Pole jednej ściany bocznej: P_(sciany) = 1/2 · a · h_b = 1/2 · 12 · 3√(2) = 18√(2)
Pole powierzchni bocznej (trzy ściany): P_b = 3 · 18√(2) = 54√(2)
## Odpowiedź
V = 36√(2) P_b = 54√(2)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.