Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg (4a-5; a; b; b+2; 9). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz a i b.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a=2, b=1 lub a=1/2, b=4
Mamy ciąg pięciowyrazowy: (4a-5; a; b; b+2; 9)
## Warunek dla ciągu arytmetycznego
Trzy pierwsze wyrazy (4a-5; a; b) tworzą ciąg arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:
a - (4a-5) = b - a
Upraszczamy lewą stronę: a - 4a + 5 = b - a -3a + 5 = b - a -3a + a = b - 5 -2a = b - 5
Stąd: b = 5 - 2a (równanie 1)
## Warunek dla ciągu geometrycznego
Trzy ostatnie wyrazy (b; b+2; 9) tworzą ciąg geometryczny, więc iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały:
(b+2)/b = 9/(b+2)
Mnożymy obie strony przez b(b+2): (b+2)² = 9b
Rozwijamy: b² + 4b + 4 = 9b b² + 4b - 9b + 4 = 0 b² - 5b + 4 = 0
## Rozwiązanie równania kwadratowego
Stosujemy wzór lub rozkład na czynniki: b² - 5b + 4 = (b-1)(b-4) = 0
Zatem: b = 1 lub b = 4
## Znalezienie wartości a
Podstawiamy do równania (1): b = 5 - 2a
Dla b = 1: 1 = 5 - 2a 2a = 4 a = 2
Dla b = 4: 4 = 5 - 2a 2a = 1 a = 1/2
## Weryfikacja
Dla a = 2, b = 1: - Ciąg: (3; 2; 1; 3; 9) - Pierwsze trzy: 3, 2, 1 — różnica -1 ✓ - Ostatnie trzy: 1, 3, 9 — iloraz 3 ✓
Dla a = 1/2, b = 4: - Ciąg: (-3; 1/2; 4; 6; 9) - Pierwsze trzy: -3, 1/2, 4 — różnica 7/2 ✓ - Ostatnie trzy: 4, 6, 9 — iloraz 3/2 ✓
## Odpowiedź
a = 2, b = 1 lub a = 1/2, b = 4
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.