W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa 5 1/2, a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa 12. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
Odpowiedzi do wyboru
- A.1 1/2
- B.4 1/2
- C.-1/2
- D.1
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez a₁, a różnicę ciągu przez r.
W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy wyrażamy jako: - a₁ = a₁ - a₂ = a₁ + r - a₃ = a₁ + 2r
Krok 1: Zapisanie warunków z treści zadania
Suma dwóch pierwszych wyrazów: a₁ + a₂ = 5 1/2 a₁ + (a₁ + r) = 11/2 2a₁ + r = 11/2 ...(1)
Suma trzech pierwszych wyrazów: a₁ + a₂ + a₃ = 12 a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12 3a₁ + 3r = 12 ...(2)
Krok 2: Rozwiązanie układu równań
Z równania (2): 3a₁ + 3r = 12 a₁ + r = 4 ...(3)
Z równania (3) wyrażamy r: r = 4 - a₁
Krok 3: Podstawienie do równania (1)
2a₁ + r = 11/2 2a₁ + (4 - a₁) = 11/2 a₁ + 4 = 11/2 a₁ = 11/2 - 4 a₁ = 11/2 - 8/2 a₁ = 3/2 = 1 1/2
Sprawdzenie: - a₁ = 3/2 - r = 4 - 3/2 = 5/2 - a₂ = 3/2 + 5/2 = 4 - a₃ = 3/2 + 2 · 5/2 = 3/2 + 5 = 13/2
Suma dwóch pierwszych: 3/2 + 4 = 11/2 = 5 1/2 ✓
Suma trzech pierwszych: 3/2 + 4 + 13/2 = 16/2 + 4 = 8 + 4 = 12 ✓
Odpowiedź: A
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.