Dany jest trójkąt ABC, w którym A=(-9,8). Bok BC tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y=-2x+38. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka B ma równanie 3x+2y-61=0. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B=(15,8), C=(9,20)prosta CD: x=9
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-33.png]
## Krok 2: Znajdowanie współrzędnych wierzchołka B
Wierzchołek B należy jednocześnie do: - prostej BC: y = -2x + 38 - wysokości z B: 3x + 2y - 61 = 0
Podstawiamy y = -2x + 38 do równania wysokości:
3x + 2(-2x + 38) - 61 = 0
3x - 4x + 76 - 61 = 0
-x + 15 = 0
x = 15
Stąd:
y = -2 · 15 + 38 = -30 + 38 = 8
Zatem B = (15, 8).
## Krok 3: Znajdowanie współrzędnych wierzchołka C
Wysokość z wierzchołka B jest prostopadła do boku AC.
Wektor kierunkowy prostej AC:
Prosta 3x + 2y - 61 = 0 ma wektor normalny n = (3, 2), który jest wektorem kierunkowym prostej AC.
Równanie prostej AC:
Prosta przechodzi przez A = (-9, 8) i ma wektor kierunkowy (3, 2):
(x + 9)/3 = (y - 8)/2
2(x + 9) = 3(y - 8)
2x + 18 = 3y - 24
2x - 3y + 42 = 0
Znajdowanie punktu C:
Punkt C jest przecięciem prostych AC i BC: - BC: y = -2x + 38 - AC: 2x - 3y + 42 = 0
Podstawiamy y = -2x + 38 do równania prostej AC:
2x - 3(-2x + 38) + 42 = 0
2x + 6x - 114 + 42 = 0
8x - 72 = 0
x = 9
Stąd:
y = -2 · 9 + 38 = -18 + 38 = 20
Zatem C = (9, 20).
## Krok 4: Równanie wysokości z wierzchołka C
Wysokość z wierzchołka C jest prostopadła do boku AB.
Wektor AB:
AB = B - A = (15 - (-9), 8 - 8) = (24, 0)
Prostopadłość:
Wysokość z C jest prostopadła do wektora (24, 0), czyli jest pionowa (równoległa do osi y).
Równanie wysokości:
Prosta pionowa przechodząca przez C = (9, 20) ma równanie:
x = 9
---
Odpowiedź: B = (15, 8), C = (9, 20), wysokość z C: x = 9
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.