Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi 1 losujemy dowolne dwa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek, którego długość jest liczbą niewymierną.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2/5
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-31.png]
Rozpatruje się sześcioką foremny o boku długości 1.
## Krok 2: Liczba wszystkich możliwych par wierzchołków
Sześcioką ma 6 wierzchołków. Liczba wszystkich możliwych par: C(6, 2) = 6 · 5/2 = 15
## Krok 3: Określenie długości odcinków
Ponumeruję wierzchołki sześciokąta jako A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ kolejno wokół figury.
W sześciokącie foremnym o boku 1 możliwe są trzy rodzaje odcinków:
Typ 1: Boki sześciokąta - Odległość między sąsiednimi wierzchołkami: d₁ = 1 - Liczba takich odcinków: 6
Typ 2: Krótsze przekątne - Odległość między wierzchołkami oddzielonymi jednym wierzchołkiem (np. A₁A₃) - Dla sześciokąta foremnego o boku 1: d₂ = √(3) - Liczba takich odcinków: 6
Typ 3: Długie przekątne (średnice) - Odległość między wierzchołkami naprzeciwległymi (np. A₁A₄) - Dla sześciokąta foremnego o boku 1: d₃ = 2 - Liczba takich odcinków: 3
Sprawdzenie: 6 + 6 + 3 = 15 ✓
## Krok 4: Określenie, które długości są wymierne
- d₁ = 1 — liczba wymierna - d₂ = √(3) — liczba niewymierna - d₃ = 2 — liczba wymierna
## Krok 5: Zliczenie odcinków o długości niewymiernej
Odcinki o długości niewymiernej to tylko te typu 2 (długości √(3)): n = 6
## Krok 6: Obliczenie prawdopodobieństwa
P = 6/15 = 2/5
Odpowiedź: 2/5
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.