W trapezie ABCD przekątne przecinają się w punkcie P. Punkt P dzieli przekątne na odcinki długości: |AP|=8, |PC|=3 i |BP|=12. Długości podstaw AB i CD trapezu różnią się o 15. Oblicz długość odcinka DP oraz długości podstaw AB i CD trapezu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |DP|=4,5; |CD|=9; |AB|=24
## Krok 1: Wykorzystanie własności podobieństwa trójkątów
W trapezie przekątne dzielą się w stosunku długości podstaw. Trójkąty APB i CPD są podobne (kąty wierzchołkowe przy P oraz kąty naprzemianległe przy podstawach równoległych).
Ze względu na podobieństwo: |AP|/|PC| = |BP|/|PD| = |AB|/|CD|
## Krok 2: Obliczenie długości |DP|
Z proporcji: |AP|/|PC| = |BP|/|PD|
Podstawiamy dane wartości: 8/3 = 12/|PD|
Mnożymy krzyżowo: 8 · |PD| = 3 · 12 8 · |PD| = 36 |PD| = 36/8 = 9/2 = 4,5
## Krok 3: Wyznaczenie stosunku podstaw
Ze stosunku podobieństwa: |AB|/|CD| = |AP|/|PC| = 8/3
Możemy zapisać: |AB| = 8/3 · |CD|
## Krok 4: Wykorzystanie warunku o różnicy podstaw
Wiemy, że: |AB| - |CD| = 15
Podstawiamy wyrażenie z kroku 3: 8/3 · |CD| - |CD| = 15
|CD| (8/3 - 1) = 15
|CD| · 5/3 = 15
|CD| = 15 · 3/5 = 9
## Krok 5: Obliczenie długości |AB|
|AB| = |CD| + 15 = 9 + 15 = 24
## Weryfikacja
Sprawdzamy stosunek: |AB|/|CD| = 24/9 = 8/3
Sprawdzamy drugie równanie: |BP|/|PD| = 12/4,5 = 12/(9/2) = 24/9 = 8/3
## Odpowiedź
|DP| = 4,5 |CD| = 9 |AB| = 24
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.