Dana jest funkcja f(x)=-3x²+bx+c dla x ∈ R . Prosta o równaniu x=2 jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji f jest przedział (-∞;21⟩. Wyznacz współczynniki b i c.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: b=12, c=9
Dla funkcji kwadratowej f(x) = -3x² + bx + c musimy wyznaczyć współczynniki b i c na podstawie dwóch warunków.
## Krok 1: Wykorzystanie osi symetrii
Oś symetrii paraboli ma równanie: x = -b/(2a)
gdzie a = -3, więc: 2 = -b/(2 · (-3)) = b/6
Mnożymy obie strony przez 6: b = 12
## Krok 2: Wykorzystanie zbioru wartości
Ponieważ a = -3 < 0, parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja ma wartość maksymalną.
Zbiór wartości (-∞; 21] oznacza, że maksymalna wartość funkcji wynosi 21.
Wartość maksymalna jest osiągana w wierzchołku paraboli, czyli dla x = 2: f(2) = 21
Podstawiamy x = 2 i b = 12 do wzoru funkcji: -3 · 2² + 12 · 2 + c = 21
-3 · 4 + 24 + c = 21
-12 + 24 + c = 21
12 + c = 21
c = 9
## Weryfikacja
Sprawdzamy: f(x) = -3x² + 12x + 9
- Oś symetrii: x = -12/(2 · (-3)) = 12/6 = 2 ✓ - Wartość w wierzchołku: f(2) = -12 + 24 + 9 = 21 ✓ - Zbiór wartości: (-∞; 21] ✓
Odpowiedź: b = 12 i c = 9
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.